diff options
Updated some formatting
2 files changed, 5 insertions, 5 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Discrete math/Homework1.pdf | bin | 33924 -> 33822 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Discrete math/Homework1.tex | 10 |
diff --git a/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf b/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf Binary files differindex 11b7c8e..8871a92 100644 --- a/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf +++ b/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf diff --git a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex b/Year 1/Discrete math/Homework1.tex index fa14e7c..3097cde 100644 --- a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex +++ b/Year 1/Discrete math/Homework1.tex @@ -97,15 +97,15 @@ III. Разглеждаме за транзитивност \noindent а) Щом S е крайно, значи съществува \begin{align*} - & \text{някакво $w$ за което } f(w) = x \text{,} \\ - & \text{някакво $z$ за което } f(z) = w \quad \left( \;\; f\left( f(z) \right) = x \;\;\right) \text{,} \\ - & \text{някакво $s$ за което } f(s) = z \quad \left( \;\; f\left( f\left( f(s) \right) \right) = x \;\;\right) \\ + & \text{произволно $w$ за което } f(w) = x \text{,} \\ + & \text{произволно $z$ за което } f(z) = w \quad \left( \;\; f\left( f(z) \right) = x \;\;\right) \text{,} \\ + & \text{произволно $s$ за което } f(s) = z \quad \left( \;\; f\left( f\left( f(s) \right) \right) = x \;\;\right) \\ & \text{и така натаък. След краен брой подобни образувания, } \\ - & \text{ще стигнем до някакво } f(y) = t \quad \left( \;\; f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x \;\;\right) + & \text{ще стигнем до произволно } f(y) = t \quad \left( \;\; f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x \;\;\right) \end{align*} Имайки предвид индуктивната дефиниция, следва че имаме $f^n(y) = x$ за някакво $n > 1$. Обаче, по дефиниция, обратната фунцкяи $f^{-1}(y) = x$. \newline Тоест, \colorbox{yellow}{$f^n(y) = f^{-1}(y)$ за някакво $n > 1$}. \newline \noindent -б) Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} (примерно $g(x) = 2x$ или $g(x) = 2 ^ x$), то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува (без значение колко голямо $n$ вземем, то винаги ще е твърде малко). +б) Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} (примерно $g(x) = 2x$ или $g(x) = 2 ^ x$), то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува. \end{document}
\ No newline at end of file |