Finished calculus notes

2 files changed, 46 insertions, 2 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/notes.pdf b/Year 1/Calculus/notes.pdf
index a9f87b5..e08f363 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.pdf
+++ b/Year 1/Calculus/notes.pdf
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex
index a7d6c5e..be4dd10 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes.tex
@@ -529,7 +529,7 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 	f \left( \sum_{i=1}^n p_ix_i \right) \leq \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)
 \end{align*}
 
-\section{\underline{Ноепределен интеграл. Техники на интегриране.}}
+\section{\underline{Неoпределен интеграл. Техники на интегриране.}}
 
 \emph{Примитивна за функция $f$: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ интервал. Функция $F: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ се нарича примитивна за $f$, ако $F$ диференцируема в $\Delta$ и $F'(x) = f(x) \quad \forall x \in \Delta$
 
@@ -572,6 +572,50 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 	\int f(\varphi (t)) d(\varphi(t)) = \int f(\varphi (t)) \varphi '(t) dt = F(t) + C \text{ , то } \int f(x)dx = F\left( \varphi ^{-1}(x) \right) + C
 \end{align*}
 
-\emph{Интегриране на рационaлни функции: }
+\newpage
+
+\emph{Интегриране на рационaлни функции: } Нека $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, където $P, Q$ са полиноми на $x$.
+\begin{enumerate}
+	\item \emph{Свеждане към интегриране на правилна рационална функция} (тоест свеждане към рационална функция с по-малка степен на числителя отколкото на знаменателя)
+	
+	Ако $\deg P \geq \deg Q$, от алгебрата е извечстно, че $\exists P_1, P_2 : \frac{P(x)}{Q(x)} = P_1 (x) + \frac{P_2 (x)}{Q(x)}, \quad \deg P_2 < \deg Q$.
+	
+	От тук нататък предполагаме, че $\deg P < \deg Q$.
+	
+	\item \emph{Разлагане на знаменателя на множители}
+	
+	Ако $\deg Q = n$, от алгебрата полиномът $Q$ има точно $n$ комплексни корена $z_1, ..., z_n \in \mathbb{C}$ и $Q(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = a_0(x-z_1)(x-z_2) \cdots (x-z_n)$
+	
+	След доказателство, полиномът $Q$ с реални коефициенти може да се разложи на:\newline
+	$Q(x) = a_0 (x-a_1)^{\alpha _1} \cdots (x-a_s)^{\alpha _s}(x^2+p_1x+q_1)^{\beta _1} \cdots (x^2+p_tx + q_t)^{\beta _t} \quad p_j^2 - 4q_j < 0 \; \forall j \in \{ 1, 2, ..., t \}$
+		
+	\item \emph{Представяне на рациоанлна функция като сума на елементарни дроби}
+	
+	Приемаме без доказателство, че за горното съществуват константи $A_1^i, A_2^i, ..., A_{\alpha _i}^i, \; i \in \{ 1, 2, ..., s \}$ $M_j^1, M_j^2, ..., M_j^{\beta _j}, \; N_j^1, N_j^2, ..., N_j^{\beta _j} \; j \in \{ 1, 2, ..., t \}$, такива че за всяко $x$ е изпълнено:
+	\begin{align*}
+		\frac{P(x)}{Q(x)} = & \sum^s_{i=1} \left( \frac{A_1^i}{x - a_i} + \frac{A_2^i}{(x - a_i)^2} + \cdots + \frac{A_{a_i}^i}{(x - a_i)^{\alpha _i}} \right) + \\
+		+ & \sum^t_{t=1} \left( \frac{M_j^1 x + N_j^1}{x^2 + p_j x + q_j} + \frac{M_j^2 x + N_j^2}{(x^2 + p_j x + q_j)^2} + \cdots + \frac{M_j^{\beta _j} x + N_j^{\beta _j}}{(x^2 + p_j x + q_j)^{\beta _j}} \right)
+	\end{align*}
+	
+	Търсим константите. Забелязваме, че те са $\alpha _1 + \cdots + \alpha _s + 2 \beta _1 + \cdots + 2 \beta _t = \deg Q$ на брой.
+\end{enumerate}
+
+\hfill
+
+\emph{Елементарна дроб от първи вид: } Рационална функция от вида $\frac{A}{(x-a)^{\alpha}} \quad A, a \in \mathbb{R}, \; \alpha \in \mathbb{N}$
+\begin{align*}
+	\int \frac{A}{(x-a)^{\alpha}} dx = A \int \frac{d(x-a)}{(x-a)^{\alpha}} = A \int (x-a)^{-\alpha} d(x-a) = \left\{ \begin{array}{ll}
+		\frac{(x-a)^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} & \alpha \neq 1 \\
+		\ln |x-a| + C & \alpha = 1
+	\end{array} \right.
+\end{align*}
+
+\hfill
+
+\emph{Елементарна дроб от втори вид: } Рационална функция от вида $\frac{Mx+N}{(x^2 + px + q)^{\beta}} \quad M, N, p, q \in \mathbb{R},$ \newline $\beta \in \mathbb{N}, \; p^2-4q < 0$. Интегрирането и започва със субституция на Хорнер $y = x + \frac{p}{2}$:
+\begin{align*}
+	& \int \frac{Mx+N}{(x^2 + px + q)^{\beta}} dx = \int \frac{M'y+N'}{(y^2 + b^2)^{\beta}} dy = M' \int \frac{y}{(y^2 + b^2)^{\beta}} dy + N' \int \frac{dy}{(y^2 + b^2)^{\beta}} = \\
+	& = \frac{M'}{2} \int \frac{d(y^2 + b^2)}{(y^2 + b^2)^{\beta}} + N' \int \frac{dy}{(y^2 + b^2)^{\beta}} = \cdots
+\end{align*}
 
 \end{document}
\ No newline at end of file