Almost finished calculus notes

2 files changed, 96 insertions, 2 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/notes.pdf b/Year 1/Calculus/notes.pdf
index 978aa00..a9f87b5 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.pdf
+++ b/Year 1/Calculus/notes.pdf
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex
index 3f4c49a..a7d6c5e 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes.tex
@@ -25,8 +25,6 @@
 \renewcommand{\thesection}{Лекция \arabic{section}}
 \renewcommand{\thesubsection}{\quad\arabic{section}.\arabic{subsection}}
 
-\setlength\delimitershortfall{-2pt} % Прави вложените скоби да са по-малки
-
 \usepackage[pdfauthor={Kamen Mladenov: syndamia.com, gitlab.com/Syndamia},
 		    pdftitle={Mathematical Analysis, Computer Science 2021, Winter Semester},
 		    pdfsubject={Бележки по Математически анализ (Диференциално и интегрално смятане)},
@@ -480,4 +478,100 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 	\text{5. } & \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o \left( x^n \right)
 \end{align*}
 
+\section{\underline{ДУ за лок. екстремум. Изпъкнали функции.}}
+
+\emph{Достатъчно условие за локален екстремум, използващо n-та производна: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $x_0 \in \Delta$, $n \geq 2$, $f$ е $(n-1)$ пъти диференцируема в $\Delta$, $f$ е $n$ пъти диференцируема в $x_0$ и $f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0$. Тогава:
+
+\begin{itemize}
+	\item Ако $n$ е четно, $x_0$ е точка на локален екстремум. Ако $f^{(n)}(x_0) > 0$, $x_0$ е строг локален минимум, иначе ако $f^{(n)}(x_0) < 0$, $x_0$ е строг локален максимум.
+
+	\item Ако $n$ е нечетно, $x_0$ не е точка на локален екстремум.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Изпъкнали множества и функции}
+
+\emph{Изпъкнало множество: } Нека $A \subset \mathbb{R}^2$. Ако за всеки избор на $a', a'' \in A$, цялата отсечка $[a', a'']$, лежи изцяло в $A$. Или формално:
+\begin{align*}
+	\left[ a', a'' \right] := \left\{ a' + t(a'' - a') \mid t \in [0, 1] \right\} = \left\{ p_1a' + p_2a'' \mid p_1 \geq 0, \; p_2 \geq 0, \; p_1 + p_2 = 1 \right\}
+\end{align*}
+
+\hfill
+
+\emph{Епиграфика на функция $f$: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Епиграфика наричаме:
+\begin{align*}
+	epi (f) := \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in D, \; y \in \mathbb{R}, \; y \geq f(x) \right\}
+\end{align*}
+
+\hfill
+
+\emph{Изпъкнала функция: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}, \; D \subset \mathbb{R}$. $f$ наричаме изпъкнала, ако $epi (f)$ е изпъкнало подмножество на равнината.
+
+\hfill
+
+\emph{Теорема: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ е изпъкнала тстк $\frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} \quad \forall x_1, x_2, x \in D : x_1 < x < x_2$
+
+\hfill
+
+\emph{Теорема: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. $f$ изпъкнала $\iff$ $f'$ е растяща в $\Delta$.
+
+\hfill
+
+\emph{Следствие: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ два пъти диференцируема в $\Delta$. $f$ изпъкнала точно когато $f'' \geq 0$ в $\Delta$.
+
+\hfill
+
+\emph{Твърдение: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ е изпъкнала. Тогава $f$ е непрекъсната точка $x_0$, която притежава околонст $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, съдържаща се изцяло в $D$.
+
+\subsection{Неравенство на Йенсен}
+
+\emph{Неравенство на Йенсен: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ е изпъкнала, произволни $x_1, x_2, ..., x_n \in \Delta$, с тегла $p_1, ..., p_n \geq 0, \sum_{i = 1}^n p_i = 1$. Тогава е изпълнено:
+\begin{align*}
+	f \left( \sum_{i=1}^n p_ix_i \right) \leq \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)
+\end{align*}
+
+\section{\underline{Ноепределен интеграл. Техники на интегриране.}}
+
+\emph{Примитивна за функция $f$: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ интервал. Функция $F: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ се нарича примитивна за $f$, ако $F$ диференцируема в $\Delta$ и $F'(x) = f(x) \quad \forall x \in \Delta$
+
+\hfill
+
+\emph{Неопределен интеграл на $f$: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$. Неопределен интеграл на $f$ е множеството от всички примитивни на $f$ в $\Delta$.
+
+\subsection{Таблица на основните интеграли}
+
+\noindent
+\begin{align*}
+	& \int e^x dx = e^x + C \qquad \int x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \alpha \neq -1 \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln \left| x \right| + C \qquad \int \sin x dx = -\cos x + C \\
+	& \int \cos x dx = \sin x + C \qquad \int \frac{dx}{\cos ^2 x} = \tg x + C \qquad \int \frac{dx}{\sin ^2 x} = \cotg x + C \qquad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctg x + C \\
+	& \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a} \right| + C
+\end{align*}
+
+\subsection{Техники за интегриране}
+
+\begin{itemize}
+	\item \emph{Линейност}
+	\begin{align*}
+		\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \qquad \int (k \cdot f(x)) dx = k \int f(x)dx
+	\end{align*}
+	
+	\item \emph{Внасяне под знака на диференциала}
+	\begin{align*}
+		\int g(f(x)) \cdot f'(x) \; dx = G(f(x)) + C \text{ , където } g(y) = G'(y) \qquad df(x) := f'(x)dx
+	\end{align*}
+	
+	\item \emph{Интегриране по части}
+	\begin{align*}
+		\int f(x) g'(x) x = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx \qquad \int f(x) d(g(x)) = f(x)g(x) - \int g(x)d(f(x))
+	\end{align*}
+\end{itemize}
+
+\section{\underline{Интегриране чрез субституции и на рационални ф-и}}
+
+\emph{Интегриране чрез субституции: } Нека $f: \Delta_x \rightarrow \mathbb{R}$ непрекъсната, $\varphi: \Delta_t \rightarrow \Delta_x$ биекция, $\varphi, \varphi^{-1}$ диференцируеми и $\Delta_x, \Delta_t$ отворени интервали. Ако е изпълнено
+\begin{align*}
+	\int f(\varphi (t)) d(\varphi(t)) = \int f(\varphi (t)) \varphi '(t) dt = F(t) + C \text{ , то } \int f(x)dx = F\left( \varphi ^{-1}(x) \right) + C
+\end{align*}
+
+\emph{Интегриране на рационaлни функции: }
+
 \end{document}
\ No newline at end of file