Solved exercise 4

2 files changed, 171 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f9abf60
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..fb00c02
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,171 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{hyperref}           % Линкове
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+
+\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 4 Въпрос.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{16 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{4 Въпрос}}
+
+В пространството $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ на полиномите на $x$ от степен $\leq 4$ с реални \newline коефициенти са дадени подмножества
+\begin{align*}
+	U & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = f(2) = f(-2) = 0 \right\} \text{ и } \\
+	W & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = 2f'(1), \: f(3) = 0 \right\} \text{.}
+\end{align*}
+Да се докаже, че $U$ и $W$ са подпространства на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} = U \oplus W$ е тяхната директна сума.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+За произволни полиноми $f, g \in U$ е в сила
+\begin{align*}
+	& (f + g)(1) = f(1) + g(1) = f(2) + g(2) = (f + g)(2) \\
+	& (f + g)(2) = f(2) + g(2) = f(-2) + g(-2) = (f + g)(-2) \\
+	& (f + g)(-2) = f(-2) + g(-2) = 0 + 0 = 0 \\
+	& \implies (f + g) \in U
+\end{align*}
+За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила
+\begin{align*}
+	& (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot f(2) = (rf)(2) \\
+	& (rf)(2) = r \cdot f(2) = r \cdot f(-2) = (rf)(-2) \\
+	& (rf)(-2) = r \cdot f(-2) = r \cdot 0 = 0 \\
+	& \implies (rf) \in U
+\end{align*}
+$\implies$ \colorbox{yellow}{$U$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$}
+
+\hfill
+
+\noindent
+За поризволни полиноми $f, g \in W$ е в сила
+\begin{align*}
+	& (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2f'(1) + 2g'(1) = 2(f' + g')(1) \\
+	& (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0 \\
+	& \implies (f + g) \in W
+\end{align*}
+За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила
+\begin{align*}
+	& (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot 2f'(1) = 2(rf')(1) \\
+	& (rf)(3) = r \cdot f(3) = r \cdot 0 = 0 \\
+	& \implies (rf) \in W
+\end{align*}
+$\implies$ \colorbox{yellow}{$W$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$}
+
+\hfill
+
+\noindent
+Сумата $U + W$ е директна, тогава и само тогава когато сечението $U \cap W = {0}$ се изчерпва от тъждествено нулевия полином $0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$. \newline
+Ако $f(x) \in U \cap W$, то $f(1) = f(2) = f(-2) = 0$, $f(1) = 2f'(1) = 0$ и $f(3) = 0$.
+
+\noindent
+Следователно, коефициентите $a_i \in \mathbb{R}$ на полинома $f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и на неговата производна $f(x) = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$ изпъляват равенствата
+\begin{align*}
+	\begin{array}{ccllcc}
+	f(1) & = & a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 & = 0 \\
+	f(2) & = & a_4 \cdot 16 + a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 + a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\
+	f(-2) & = & a_4 \cdot 16 - a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 - a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\
+	f'(1) & = & 4 a_4 + 3a_3 + 2a_2 + a_1 & = 0 \\
+	f(3) & = & a_4 \cdot 81 + a_3 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 + a_0 & = 0
+\end{array}
+\end{align*}
+Тоест, $(a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) \in \mathbb{R} ^ 5$ е решение на хомогенна система линейни уравнения с матрица от коефициенти:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\
+		16 & -8 & 4 & -2 & 1 \\
+		4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
+		81 & 27 & 9 & 3 & 1 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред с -4 и го събираме с четвърти ред.} \\
+		& \text{Умножаваме първи ред с -81 и го събираме с пети ред.} \\
+		& \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с трети ред.} \\
+		& \text{Умножаваме първи ред с -16 и го събираме с втори ред.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\
+		0 & -16 & 0 & -4 & 0 \\
+		0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
+		0 & -54 & -72 & -78 & -80 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Делим трети ред на -4.} \\
+		& \text{Делим четвърти ред на -1.} \\
+		& \text{Делим четвърти прети ред на -2.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\
+		0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
+		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
+		0 & 27 & 36 & 39 & 40 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме четвърти ред с 8 и събираме с втори.} \\
+		& \text{Умножаваме четвърти ред с -4 и събираме с трети.} \\
+		& \text{Умножаваме четвърти ред с -27 и събираме с пети.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\
+		0 & 0 & -8 & -11 & -16 \\
+		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
+		0 & 0 & -18 & -42 & -68 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме втори ред с 2 и събираме с трети.} \\
+		& \text{Умножаваме пети ред с -2.} \\
+		& \text{Умножаваме втори ред с -9.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & 0 & -36 & -90 & -153 \\
+		0 & 0 & 0 & 9 & 18 \\
+		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
+		0 & 0 & 36 & 84 & 136 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Събираме втори ред с пети. Делим втори ред на -9.} \\
+		& \text{Умножаваме трети ред с 6.} \\
+		& \text{Умножаваме пети ред с 9.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\
+		0 & 0 & 0 & 54 & 108 \\
+		0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
+		0 & 0 & 0 & -54 & -153 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Събираме трети ред с пети. Делим пети ред с -45.} \\
+		& \text{Умножаваме и събираме пети ред с другите редове,} \\
+		& \text{така че в десния стълб на тези редове да останат нули.} \\
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+Чрез поредица от аналогични действия за другите редове и чрез размяна на втори с четвърти и трети с четвърти ред, системата се свежда до Гаус-Жорданов вид.
+
+\noindent
+Следователно $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$, което означава, че $U \cap W = \{0\}$ и \colorbox{yellow}{сумата $U \oplus W$} \colorbox{yellow}{е директна}.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file