[A2/H1] Finished exercise 1-3

6 files changed, 33 insertions, 10 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf
index 4b1a72e..6ca4180 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.tex b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.tex
index 4311e01..85feff2 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.tex
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise1.tex
@@ -58,7 +58,7 @@
 	\forall A = \left( \begin{array}{cc}
 		a & c \\
 		0 & b
-	\end{array} \right) \in G, \text{ знаем че } a, b \in \mathbb{R}^* \implies \det(A) = a.b - c.0 = ab \neq 0
+	\end{array} \right) \in G, \text{ знаем че } a, b \in \mathbb{R}^* \implies \det(A) = a.b - c.0 = ab \neq 0 \text{ и } G \subseteq GL_2(\mathbb{R})
 \end{align*}
 
 Тоест ще докажем, че $\forall A,B \in G \Rightarrow A.B \in G, B^{-1} \in G$. Нека
@@ -117,7 +117,7 @@
 
 Ще докажем, че изображението $\varphi$ е хомоморфизъм на групи, като
 \begin{align*}
-	\varphi : G \rightarrow (\mathbb{R}^*, .), \quad \forall
+	\varphi : G \rightarrow \mathbb{R}^*, \quad \forall
 	\left( \begin{array}{cc}
 		a & c \\
 		0 & b
@@ -181,9 +181,9 @@
 	\left( \begin{array}{cc}
 		a & c \\
 		0 & b
-	\end{array} \right) = a^2b \in (\mathbb{R}^*, .) \implies \im(\varphi) = (\mathbb{R}^*, .)
+	\end{array} \right) = a^2b \in \mathbb{R}^* \implies \im(\varphi) = \mathbb{R}^*
 \end{align*}
 
-От теоремата за хомоморфизмите, следва че $G / H = G / \ker(\varphi) \simeq \im (\varphi) = (\mathbb{R}^*, .)$
+От теоремата за хомоморфизмите, следва че $G / H = G / \ker(\varphi) \simeq \im (\varphi) = \mathbb{R}^*$
 	
 \end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
index b8f48ed..984a1b0 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
index 01b51d8..9204797 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
@@ -53,7 +53,12 @@
 
 \subsection{Подточка}
 
-Ще покажем, че $L$ е подгрупа на $G$, тоест ще докажем, че $\forall l, m \in L \Rightarrow l.m \in L, m^{-1} \in L$.
+Ще покажем, че $L$ е подгрупа на $G$, съгласно:
+\begin{align*}
+	\forall a, b \in \mathbb{Z}: \; na + kb \in \mathbb{Z} \implies L \subseteq G
+\end{align*}
+
+Тоест ще докажем, че $\forall l, m \in L \Rightarrow l.m \in L, m^{-1} \in L$.
 
 Нека $l = g^{na_1 + kb_1}, m = g^{na_2 + kb_2}$ за произволни фиксирани $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z}$:
 \begin{align*}
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf
index c129f13..e9ba54d 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.tex b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.tex
index c2f77bc..475b763 100644
--- a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.tex
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise3.tex
@@ -27,6 +27,7 @@
 \renewcommand{\thesubsection}{(\roman{subsection})}
 
 \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
 
 \let\oldforall\forall
 \renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
@@ -53,8 +54,10 @@
 
 \subsection{Подточка}
 
-Всички пермутации $\tau \in S_6$, които са спрегнати с $\sigma$, са всички възможни единични цикли с дължина 6.
-Това са всички възможни пермутации в $S_6$, обаче като изключим
+Всички пермутации $\tau \in S_6$, които са спрегнати с $\sigma$, са всички единични цикли с дължина 6.
+Тогава, знаем че $\Supp(\tau) := \{ i \mid \tau(i) \neq i \}$ се състои от 6 различни елемента.
+Тоест, за един цикъл с 6 елемента $a_1, a_2, ..., a_6 \in \{1, ..., 6\}$, знаем че $\tau(a_i) \in \{1, ..., 6\} \setminus \{a_i\}$.
+Следователно, за $a_1$ имаме 5 възможности, за $a_2$ имаме 4 възможности ($\tau(a_2) \in \{1, ..., 6\} \setminus \{a_1, a_2\}$) и так. нат. от което следва че броят такива цикли е $5! = 120$.
 
 \subsection{Подточка}
 Ще дадем примери за $\rho_1$ и $\rho_2$, които имат независими цикли:
@@ -65,11 +68,26 @@
 
 \subsection{Подточка}
 
-Пермутации от ред 3 са всички тези с един или два цикъла от дължина 3.
-И в двата случая пермутациите са четни.
+Пермутации от ред 3 са всички тези с един цикъл с дължина 3 или с умножение на два независими цикъла с дължина 3.
+Такива цикли имат две инверсии, тоест и в двата случая пермутациите са четни.
+
+Разглеждаме броя на цикли с дължина 3.
+Следвайки същата логика от \textbf{(i)}, $\Supp(\rho)$ се състои от 3 различни елемента $n_1, n_2, n_3 \in \{1, ..., 6\}$, за един цикъл с 3 елемента $a_1, a_2, a_3 \in \{n_1, n_2, n_3\}$, знаем че $\rho(a_i) \in \{n_1, n_2, n_3\} \setminus \{a_i\}$ и следователно за $a_1$ имаме 2 възможности и $a_2$ и $a_3$ се определят еднозначно.
+Можем да направим общо $\binom{6}{3} = 20$ на брой избора за $n_1, n_2, n_3$.
+Следователно за всеки избор на 3 елемента можем да направим 2 цикъла с дължина 3, което са общо $20.2 = 40$ на брой.
+
+Разглеждаме броя на умножения на два независими цикъла с дължина 3.
+При първия от двата вече показахме, че имаме $40$ бройки, като нека при него $a_1, a_2, a_3 \in \{n_1, n_2, n_3\}$.
+Тогава за втория, аналогично имаме, че $a_1', a_2', a_3' \in \{n_1', n_2', n_3'\}$, обаче $n_1', n_2', n_3' \in \{1, ..., 6\} \setminus \{n_1, n_2, n_3\}$.
+Тоест, $n_1', n_2', n_3'$ се определят еднозначно и имаме по две възможности за втория цикъл спрямо всеки избор на първия цикъл.
+Това са общо $40.2 = 80$ възможни цикли.
+
+Следователно, има общо $40+80=120$ на брой четни цикъла от ред 3.
 
-Броят на всички възможни единични цикли от ред 3 са броят възможни начини да изберем 3 числа от $\{1, ..., 6\}$
 
 \subsection{Подточка}
 	
+В \textbf{(iii)} показахме, че всички пермутации от ред 3 са четни.
+Тоест, броят на нечетните е нула.
+	
 \end{document}
\ No newline at end of file