path: root / Year 1 / Calculus / notes.tex

% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} \DeclareMathOperator{\arccotg}{arccotg}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Лекция \arabic{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\quad\arabic{section}.\arabic{subsection}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\usepackage[pdfauthor={Kamen Mladenov: syndamia.com, gitlab.com/Syndamia},
		    pdftitle={Mathematical Analysis, Computer Science 2021, Winter Semester},
		    pdfsubject={Бележки по Математически анализ (Диференциално и интегрално смятане)},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\begin{document}

Не са написани някои неща, които вече фигурират във \href{https://syndamia.com/files/uni-work/dstr/notes.pdf}{файла по Дискретни структури} в \newline
\textbf{Лекция 2}, \textbf{Лекция 3}, \textbf{Лекция 4} и \textbf{Лекция 6}.

\section{\underline{Реални числа - първа част}}

\subsection{Множества}

\noindent
\begin{align*}
	& \text{Множество на естествените числа} & \mathbb{N} & = \left\{1, 2, 3, 4, ... \right\} \\
	& \text{Множество на целите числа} & \mathbb{Z} & = \left\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \right\} \\
	& \text{Множество на рационалните числа} & \mathbb{Q} & = \left\{ \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\} \\
	& \text{Множество на реалните числа} & \mathbb{R} & = \left\{ s \, a_0 . a_1 a_2 \cdots : s \in \{ +, - \}, a_0 \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} , a_n \in \{ 1, 2, ..., 9 \}, n \in \mathbb{N} \right\}
\end{align*}

\noindent
Нека $a = a_0 . a_1 a_2 \cdots$, $b = b_0 . b_1 b_2 \cdots$ и $a, b \in \mathbb{R}$.

\begin{itemize}
	\item \emph{Равенство:} \newline $a = b$, ако имат еднакви знаци и
	\begin{itemize}
		\item \emph{или} $\forall i \in \{0, 1, 2, ... \} : a_i = b_i$,
		\item \emph{или} $\exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \forall i \in \{ 0, 1, 2, ..., n-1 \}, a_i = b_i \forall j \in \{ n+1, n+2, ... \}, a_j = 0, b_j = 9: a_n = b_n + 1$ \newline
		Пример: $1.333 \cdots 33300 \cdots 0 \cdots = 1.333 \cdots 33299 \cdots 9 \cdots$
	\end{itemize}

	\item \emph{Сравняване:}
	\begin{enumerate}
		\item $a \geq 0, b \geq 0$ \newline
		$a \leq b \iff
		\begin{cases}
			a_i = b_i, & \forall i \in {0, 1, 2, ...} \\
			\text{или} \\
			\exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, & a_i = b_i \forall i \in \{ 0, 1, ..., n-1 \} \text{ и } a_n < b_n
		\end{cases}$
		
		\item $a \leq 0, b \geq 0$ \qquad $a \leq b$
		
		\item $a \leq 0, b \leq 0$ \qquad $a \leq b \iff |a| \geq |b|$
	\end{enumerate}
\end{itemize}

\subsection{Граници и ограниченост}

Нека $A \subset \mathbb{R}$

\begin{itemize}
	\item \emph{Множество, ограничено отгоре} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \forall a \in A : a \leq M$ \quad $M$ - \emph{горна граница (мажоранта)}
	
	Най-малката горна граница наричаме \emph{точна горна граница или супремум на $A$ $(\sup A)$}
	\begin{enumerate}
		\item $a \leq \sup A \forall a \in A$ \qquad ($\sup A$ е горна граница)
		\item $\forall c < \sup A \exists a \in A : a > c$ \qquad (няма по-малка горна граница)
	\end{enumerate}
	
	\item \emph{Множество, ограничено отдолу} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \forall a \in A : a \geq M$ \quad $M$ - \emph{долна граница (миноранта)}
	
	Най-малката долна граница наричаме \emph{точна долна граница или инфимум на $A$ $(\inf A)$}
	
	\item \emph{Ограничено множество} \qquad Ако е ограничено отдолу и отгоре
\end{itemize}

\noindent
\begin{align*}
	\emph{Принцип на непрекъснатост: } & \text{Всяко ограничено отгоре непразно множество $A \subset \mathbb{R}$ има супремум.} \\
	& \text{Всяко ограничено отдолу непразно множество $A \subset \mathbb{R}$ има инфимум.}
\end{align*}

\noindent
\emph{Цялата част на $x \in \mathbb{R}$}: най-голямото цяло число $z$, ненадминаващо $x$. \hfill $\lfloor x \rfloor = \max \{ z \in \mathbb{Z} : z \leq x \}$

\section{\underline{Реални числа - втора част и сходящи редици}}

\subsection{Непрекъснати наредени полета}

\emph{Аксиома на Архимед: } Ако $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ е непрекъснато наредено поле с неутрален елемент $e$ относно умножението, то $\{ e, e+e, e+e+e, ... \}$ не е ограничено отгоре.

\subsection{Изброими множества и редици}

\emph{Кофинитно множество: } Едно множество $A \subset \mathbb{N}$ от естествени числа се нарича кофинитно, ако $\mathbb{N} \setminus A$ е крайно или празно. \hfill (тоест, започва от някое число в $\mathbb{N}$ и продължава до безкрайност) \newline

\emph{Околност на точка: } Нека $a \in \mathbb{R}$ и $U \subset R$. $U$ е околност на точката $a$, ако съществува $\varepsilon > 0$ такова, че $(a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U$

\- \quad Ако разглеждаме $(a - \varepsilon, a + \varepsilon) \setminus \{ a \}$, говорим за \emph{пробита околност} \newline

\emph{Редица: } Всяко изображение $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$\newline

\emph{Граница на редица: } Редицата $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ има граница $a \in \mathbb{R}$, ако за всяка околност на $a$, $\{ n \in \mathbb{N} : a_n \in U \}$ е кофинитно. \hfill (тоест, ако всяка околност на $a$ съдържа почти всички членове) \newline

\emph{Сходяща редица: }
\begin{align*}
	\exists a \in \mathbb{R} : a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a \iff \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : |a_n - a| < \varepsilon
\end{align*}

\emph{Разходяща редица: } Ако не е сходяща

\section{\underline{Редици от реални числа}}

\subsection{Основни свойства на сходящи редици}

Ако не е определено друго: $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a, \quad b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} b$
\begin{enumerate}
	\item Добавянето и премахването на краен брой членове не влияе на сходимостта (и границата)
	
	\item Сходящите редици са ограничени
	
	\item Ако $a_n \leq b_n \forall n \in \mathbb{N}, \quad$ то $\quad a \leq b$
	
	\item \emph{Лема за двамата полицаи: } Нека $a_n \leq c_n \leq b_n \forall n \in \mathbb{N}$. \newline
	Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a, \quad b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a , \quad$ то $\quad c_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a\quad$ (и $\{ c_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща) \newline
	
	\emph{Следствие: } Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$ и $\{ b_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е ограничена, то $a_n . b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$
	
	\item $a_n \pm b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a \pm b \qquad a_n . b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} ab$ \newline
	
	\emph{Следствие: } Ако $c \in \mathbb{R}$, то $c . a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} ca$
	
	\emph{Следствие: } $a_n - b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a - b$
	
	\item Ако $b \neq 0$, то $\frac{a_n}{b_n} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac{a}{b}$
\end{enumerate}

\subsection{Дивергиране към безкрайност}

\emph{Околност на $+\infty$: } $\exists M \in \mathbb{R}, (M, +\infty) \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $+\infty$

\emph{Околност на $-\infty$: } $\exists M \in \mathbb{R}, (-\infty, M) \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $-\infty$

\emph{Околност на $\infty$: } $\exists M > 0, [(-\infty, -M) \cup (M, +\infty)] \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $\infty$

\begin{align*}
	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} +\infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : a_n > M \\
	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} -\infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : a_n < M \\
	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : |a_n| > M \\
\end{align*}

\subsection{Монотонни редици}

\emph{Растяща редица: } Ако $a_{n+1} \geq a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$, то $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ е растяща

\emph{Намаляваща редица: } Ако $a_{n+1} \leq a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$, то $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ е намаляваща

\emph{Монотонна редица: } Ако редицата е растяща или нямаляваща

\- \qquad Ако редицата е растяща и намаляваща едновременно, тя е \emph{стационарна} \newline

Ако $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е растяща и ограничена отгоре, тя е сходяща.

Ако $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е намаляваща и ограничена отдолу, тя е сходяща.

\subsection{Неперово число}

\noindent
\begin{align*}
	e := \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
\end{align*}

\section{\underline{Редици от релани числа. Граници на функции.}}

\subsection{Подредици и точки на сгъстяване}

\emph{Точка на сгъстяване: } $a \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстяване, ако във всяка околност на $a$ има безброй много членове на редицата

\- \qquad За $D \subset \mathbb{R}$, $x_0 \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстяване, ако за всяка околност $U$ на $x_0$, $U \cap D$ е безкрайно \newline

\- \qquad Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$, то $a$ е (единствената) точка на сгъстяване \newline

\emph{Подредица: } Ако задраскаме част от членовете, така че да останат безкрайно много и запазим реда на останалите (композиция на строго растящо $n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ и $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$)

\- \qquad Ако $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща редица ($a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$) и $\{  a_{n_k} \}^{\infty}_{k = 1}$ е нейна подредица, то $a_{n_k} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$ \newline

\- \qquad $a$ е точка на сгъстяване, когато съществува $\{  a_{n_k} \}^{\infty}_{k = 1}$ на $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1}$, за която $a_{n_k} \xrightarrow[k \rightarrow \infty]{} a$ \newline

\emph{Теорема на Болцано-Вайерщрас (Принцип за компактност): } Всяка ограничена редица има точка на сгъстяване. Еквивалентно, всяка ограничена редица има сходяща подредица.

\subsection{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост}

\emph{Фундаментална редица: } $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m \geq n_0 \forall n \geq n_0 : |a_m - a_n| < \varepsilon$ (разстоянието между произволни два от елемента може да се направи произволно малко, от някъде нататък; условие за сходимост без да използваме граница) \newline

\emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост на числова редица: } Една редица от реални числа е сходяща точно тогава, когато е фундаментална

\subsection{Граница на функция}

Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}, x_0 \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстаяване на $D$ \newline

\emph{Граница на функция (форма на Коши): } \newline
$f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клонящ към $x_0$, \newline
ако за всяка околност $U$ на $L$ съществува околност $V$ на $x_0$, така че за всяко $x \in V \cap D, x \neq x_0 : f(x) \in U$
\begin{align*}
	\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \quad \text{ ако } \quad \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| < \varepsilon
\end{align*}

\emph{Граница на функция (форма на Хайне): } \newline
$f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клонящ към $x_0$, \newline
ако за всяка редица $\{  x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D \setminus \{ x_0 \}$, която клони към $x_0$, съответната редица от функционални стойности $\{  f(x_n) \}^{\infty}_{n = 1}$ клони към $L$
\begin{align*}
	\forall \{  x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D \setminus \{ x_0 \}, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x : f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} L
\end{align*}

\section{\underline{Граници на функции}}

\noindent
Дефинициите за граница на функция във \emph{формата на Коши} и във \emph{формата на Хайне} са еквивалентни

\subsection{Основни свойства на граници}

\begin{enumerate}
	\item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} (f(x) + g(x)) = L_f + L_g$
	\item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} (f(x) \cdot g(x)) = L_f \cdot L_g$
	\item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{L_f}{L_g}$, ако $L_g \neq 0$
\end{enumerate}

При неравенства
\begin{itemize}
	\item Ако $f(x) \leq g(x)$ за $x \in D$, то $L_1 \leq L_2$
	\item Ако $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ за $x \in D$ и $L_1 = L_2$, то $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} h(x) = L_1 = L_2$
\end{itemize}

\emph{Композиция на функции: } $g \circ f: X \rightarrow Z$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, \quad при $f: X \rightarrow Y$ и $g: Y \rightarrow Z$ \newline

\subsection{Граница на дивергираща функция}

\noindent
\begin{align*}
	& \xi, \eta \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty, \infty \} & \\
	\lim_{x \rightarrow \xi} f(x) = \eta & \iff \forall U \text{околност на } \eta \exists V \text{околност на } \xi \forall x \in V \cap D, x \neq \xi : f(x) \in U  & \emph{(форма на Коши)} \\
	& \iff \forall \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset D \setminus \{ \xi \}, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \xi : f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \eta & \emph{(форма на Хайне)}
\end{align*}

\noindent
\emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за съществуване на граница на функция}: 
\begin{align*}
	& \exists L \in \mathbb{R} : \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x', x'' \in (D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{ x_0 \} : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon
\end{align*}

\begin{align*}
	\emph{Лява граница: } & \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) := \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \left. f \right|_{D \cap (-\infty, x_0)} \right)(x) \\
	\emph{Дясна граница: } & \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) := \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \left. f \right|_{D \cap (x_0, +\infty)} \right)(x)
\end{align*}

\section{\underline{Непрекъснати функции}}

\emph{Непрекъсната функция: } 

\- \quad \emph{Форма на Коши: }$(\forall x_0 \in D) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

\- \quad \emph{Форма на Хайне: } $(\forall x_0 \in D) \forall \{  x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0: f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} f(x_0)$

\subsection{Основни теореми}

Ако не е посочено друго, работим с $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, която е непрекъсната \newline

\emph{Теорема на Болцано: }  Ако $f(a) \cdot f(b) < 0$, то съществува $x_0 \in (a, b) : f(x_0) = 0$ \newline

\emph{Теорема за междинните стойности: } Ако $f(a) < c < f(b)$ или $f(b) < c < f(a)$, то съществува $x_0 \in (a, b) : f(x_0) = c$

\emph{Интервал: } $\Delta \subset \mathbb{R}$ наричаме интервал, ако $x_1 \in \Delta, x_2 \in \Delta, x_1 < x_2 \implies [x_1, x_2] \subset \Delta$

\quad \emph{Следствие: } Непрекъснатият образ на интервал е интервал\newline

\emph{Теорема на Вайерщрас: } Щом $f$ е непрекъсната, то $f$ е ограничена и има най-голяма и най-малка стойност \newline

\emph{Равномерна непрекъснатост: } За $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, $f$ е равномерно непрекъсната в D, ако $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D \forall x_0 \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ \quad ($\delta$ не зависи от $x_0$) \newline

\emph{Теорема на Кантор: } Ако $f$ е непрекъсната, то $f$ е равномерно непрекъсната в $[a, b]$

\section{\underline{Основни елементарни функции}}

\emph{Продължение на функция: } За $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ казваме, че $\widetilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ е продължение на $f$, ако $\widetilde{f}(x) = f(x)$ за всяко $x \in \mathbb{Q}$

\- \quad $f$ притежава (единствено) непрекъснато продължение $\widetilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, когато $f$ е непрекъсната върху всеки ограничен затворен интервал $[c, d] \cap \mathbb{Q}$ \newline

\emph{Експонента: } Единственото непрекъснато продължение $\widetilde{f}_a$ на $f_a(x) = a^x$ наричаме експонента с основа $a$, $a^x := \widetilde{f}_a (x) \forall x \in \mathbb{R}$

\subsection{Обратни тригонометрични функции}

\noindent
\begin{enumerate}
	\item $\arcsin$: $\qquad \left. \sin \right|_{\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]} : \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] \rightarrow [-1, 1] \qquad \arcsin \equiv \left( \left. \sin \right|_{\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]} \right)^{-1} : [-1, 1] \rightarrow \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$
	
	$\sin (\arcsin( y )) = y \quad \forall y \in [-1, 1] \qquad \arcsin (\sin (x)) = x \quad \forall x \in \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ \text{(еквивалентно за останалите)}
	
	\item $\arccos$: $\qquad \left. \sin \right|_{[0, \pi]} : [0, \pi] \rightarrow [-1, 1] \qquad \arccos \equiv \left( \left. \cos \right|_{[0, \pi]} \right)^{-1} : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$
	
	\item $\tg$: $\qquad \left. \tg \right|_{\left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)} : \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow (-\infty, +\infty) \qquad \arctg \equiv \left( \left. \tg \right|_{\left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)} \right)^{-1} : (-\infty, +\infty) \rightarrow \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$
	
	\item $\arccotg$: $\qquad \left. \cotg \right|_{(0, \pi)} : (0, \pi) \rightarrow (-\infty, +\infty) \qquad \arccotg \equiv \left( \left. \cotg \right|_{(0, \pi)} \right)^{-1} : (-\infty, +\infty) \rightarrow (0, \pi)$
\end{enumerate}

\subsection{Основни граници}

\noindent
\begin{align*}
	& \lim_{x \rightarrow x_0} x = x_0 \qquad \lim_{x \rightarrow x_0} c = c \qquad \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0} a^x = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \\
	& \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_a (1+x)}{x} = \log_a e \quad \left( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1 \right) \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \\
	& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a , \; a > 0 \quad \left( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \right) \\
	& e^x = \lim_{n \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} \qquad e^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{p_n} \right)^{p_n b_n}, \quad p_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \pm \infty
\end{align*}

\emph{Неравенство на Бернули: } $(1 + x) ^ n \geq 1 + nx, x \geq -1$

\section{\underline{Диференцируемост и производна}}

\emph{Диференцируемост на функция: } $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ е  диференцируема в точка $x \in \Delta$, ако съществува граница $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
\begin{align*}
	f'(x) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
\end{align*}

Ако $f$ е диференцируема в $x$, то $f$ е непрекъсната в $x$

\subsection{Правила за диференциране}

\noindent
\begin{enumerate}
	\item \emph{Диференциране на сума: } $(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ \newline
	\emph{Диференциране на разлика: } $(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)$

	\item \emph{Диференциране на произведение: } $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ \newline
	\emph{Диференциране на произведение с константа: } $(cf)'(x) = cf'(x)$ \newline
	\emph{Диференциране на частно: } $\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
	
	\item \emph{Диференциране на композиция от функция: } $(g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)$
	
	\item \emph{Дифернциране на обратна биекция: } $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$
\end{enumerate}

\subsection{Основни производни}

\noindent
\begin{align*}
	& (e^x)' = e^x \qquad (a^x)' = a^x \cdot \ln a \quad (a > 0) \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1) \\
	& (x^a)' = ax^{a - 1} \\
	& (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = - \sin x \qquad (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad (\cotg x)' = \frac{1}{\sin^2 x} \\
	& (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \; x \in (-1, 1) \qquad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \; x \in (-1, 1) \\
	& (\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R} \qquad (\arccotg x)' = - \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R}
\end{align*}

\section{\underline{Основни теореми за диференцируеми функции}}

\emph{Локален екстремум на функция: } Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ има \emph{локален минимум} в $x_0$, ако съществува $\delta > 0$, такова че $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset D$ и $f(x_0) \leq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Аналогично има \emph{локален максимум} ако $f(x_0) \geq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$.

\hfill

\emph{Теорема на Ферма: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ е точка на локален екстремум и $f$ диференцируема в $x_0$. Тогава $f'(x_0) = 0$.

\hfill

\emph{Теорема на Рол: } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$ и $f(a) = f(b)$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = 0$.

\subsection{Теорема на крайните нараствания и следствия}

\emph{Теорема на Лагранж (Теорема за крайните нараствания): } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

\hfill

\emph{Принцип за константност (Основна теорема на диференциалното смятане): } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. $f$ е константа точно тогава, когато $f'(x) = 0 \quad \forall x \in \Delta$.

\hfill

\emph{Принцип за монотонност: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$.

$f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \qquad $f$ намаляваща в $\Delta \iff$ $f'(x) \leq 0 \quad \forall x \in \Delta$

\hfill

\emph{Производни от по-висок ред: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f'(x)$ съществува за всяко $x \in \Delta$. Означаваме $f''(x) := (f')'(x)$ и индуктивно дефинираме, $f^{(n + 1)} := \left( f^{(n)} \right)'$. $f^{(0)} := f$.

\subsection{Обобщена теорема на крайните нараствания и следствия}

\emph{Теорема на Коши (Обобщена теорема за крайните нараствания): } Нека $f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, \newline $f, g$ диференцируеми в $(a, b)$, $f,g$ непрекъснати в $[a, b]$ и $g'(x) \neq 0 \quad \forall x \in (a,b)$. \newline
Тогава съществува $\xi$, такова че $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b) - g(a)}$.

\hfill

\emph{1-ва теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{0}{0} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, непрекъснати в $b$, $f(b) = g(b) = 0$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

\hfill

\emph{2-ра теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, $\lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = \infty$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

\section{\underline{Полином на Тейлър}}

Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ са $n$ пъти диференцируеми. $\qquad (f+g)^{(n)} = f^{(n)} + g^{(n)} \qquad (c . f)^{(n)} = c . f^{(n)}$

\hfill

\emph{Формула на Лайбниц: } Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал и са $n$ пъти диференцируеми.

Тогава $(fg)^{(n)} = \sum\limits^n_{k=0} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$

\subsection{Полином на Тейлър}

\emph{Означение о-малко: } Нека $g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} 0$ и $g(x) \neq 0$. $f(x) = o(g(x))$ ($f(x)$ е о-малко от $g(x)$) ако $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

\hfill

\emph{Полином на Тейлър от n-та степен около точка а: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $a \in \Delta$, $f$ е $(n-1)$ пъти диференцируема в $\Delta$, $f$ е $n$ пъти диференцируема в $a$. Тогава
\begin{align*}
	T_n(x) = \quad f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i
\end{align*}

\subsection{Формула на Тейлър}

\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Пеано: }
\begin{align*}
	f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; o\left( (x-a)^n \right)
\end{align*}

\hfill

\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Лагранж: }
\begin{align*}
	f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; \underbrace{\frac{f^{(n+1)}\left( \xi (x) \right)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{\xi (x) \text{ е между } a \text{ и } x}
\end{align*}

\hfill

\emph{Формула на Маклорен: } Формула на Тейлър, за която $a = 0$

\subsection{Равитие на някои функции в ред на Маклорен}

\noindent
\begin{align*}
	\text{1. } & e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\
	\text{2. } & \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o\left( x^{2k+1} \right) \\
	\text{3. } & \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o\left( x^{2k} \right) \\
	\text{4. } & (1+x)^{\alpha} = \binom{\alpha}{0} + \binom{\alpha}{1}x + \binom{\alpha}{2}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o\left( x^n \right) \\
	\text{5. } & \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o \left( x^n \right)
\end{align*}

\section{\underline{ДУ за лок. екстремум. Изпъкнали функции.}}

\emph{Достатъчно условие за локален екстремум, използващо n-та производна: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $x_0 \in \Delta$, $n \geq 2$, $f$ е $(n-1)$ пъти диференцируема в $\Delta$, $f$ е $n$ пъти диференцируема в $x_0$ и $f'(x_0) = f''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0$. Тогава:

\begin{itemize}
	\item Ако $n$ е четно, $x_0$ е точка на локален екстремум. Ако $f^{(n)}(x_0) > 0$, $x_0$ е строг локален минимум, иначе ако $f^{(n)}(x_0) < 0$, $x_0$ е строг локален максимум.

	\item Ако $n$ е нечетно, $x_0$ не е точка на локален екстремум.
\end{itemize}

\subsection{Изпъкнали множества и функции}

\emph{Изпъкнало множество: } Нека $A \subset \mathbb{R}^2$. Ако за всеки избор на $a', a'' \in A$, цялата отсечка $[a', a'']$, лежи изцяло в $A$. Или формално:
\begin{align*}
	\left[ a', a'' \right] := \left\{ a' + t(a'' - a') \mid t \in [0, 1] \right\} = \left\{ p_1a' + p_2a'' \mid p_1 \geq 0, \; p_2 \geq 0, \; p_1 + p_2 = 1 \right\}
\end{align*}

\hfill

\emph{Епиграфика на функция $f$: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Епиграфика наричаме:
\begin{align*}
	epi (f) := \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in D, \; y \in \mathbb{R}, \; y \geq f(x) \right\}
\end{align*}

\hfill

\emph{Изпъкнала функция: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}, \; D \subset \mathbb{R}$. $f$ наричаме изпъкнала, ако $epi (f)$ е изпъкнало подмножество на равнината.

\hfill

\emph{Теорема: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ е изпъкнала тстк $\frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} \quad \forall x_1, x_2, x \in D : x_1 < x < x_2$

\hfill

\emph{Теорема: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. $f$ изпъкнала $\iff$ $f'$ е растяща в $\Delta$.

\hfill

\emph{Следствие: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ два пъти диференцируема в $\Delta$. $f$ изпъкнала точно когато $f'' \geq 0$ в $\Delta$.

\hfill

\emph{Твърдение: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ е изпъкнала. Тогава $f$ е непрекъсната точка $x_0$, която притежава околонст $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, съдържаща се изцяло в $D$.

\subsection{Неравенство на Йенсен}

\emph{Неравенство на Йенсен: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ е изпъкнала, произволни $x_1, x_2, ..., x_n \in \Delta$, с тегла $p_1, ..., p_n \geq 0, \sum_{i = 1}^n p_i = 1$. Тогава е изпълнено:
\begin{align*}
	f \left( \sum_{i=1}^n p_ix_i \right) \leq \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)
\end{align*}

\section{\underline{Неoпределен интеграл. Техники на интегриране.}}

\emph{Примитивна за функция $f$: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ интервал. Функция $F: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ се нарича примитивна за $f$, ако $F$ диференцируема в $\Delta$ и $F'(x) = f(x) \quad \forall x \in \Delta$

\hfill

\emph{Неопределен интеграл на $f$: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$. Неопределен интеграл на $f$ е множеството от всички примитивни на $f$ в $\Delta$.

\subsection{Таблица на основните интеграли}

\noindent
\begin{align*}
	& \int e^x dx = e^x + C \qquad \int x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \alpha \neq -1 \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln \left| x \right| + C \qquad \int \sin x dx = -\cos x + C \\
	& \int \cos x dx = \sin x + C \qquad \int \frac{dx}{\cos ^2 x} = \tg x + C \qquad \int \frac{dx}{\sin ^2 x} = \cotg x + C \qquad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctg x + C \\
	& \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a} \right| + C
\end{align*}

\subsection{Техники за интегриране}

\begin{itemize}
	\item \emph{Линейност}
	\begin{align*}
		\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \qquad \int (k \cdot f(x)) dx = k \int f(x)dx
	\end{align*}
	
	\item \emph{Внасяне под знака на диференциала}
	\begin{align*}
		\int g(f(x)) \cdot f'(x) \; dx = G(f(x)) + C \text{ , където } g(y) = G'(y) \qquad df(x) := f'(x)dx
	\end{align*}
	
	\item \emph{Интегриране по части}
	\begin{align*}
		\int f(x) g'(x) x = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx \qquad \int f(x) d(g(x)) = f(x)g(x) - \int g(x)d(f(x))
	\end{align*}
\end{itemize}

\section{\underline{Интегриране чрез субституции и на рационални ф-и}}

\emph{Интегриране чрез субституции: } Нека $f: \Delta_x \rightarrow \mathbb{R}$ непрекъсната, $\varphi: \Delta_t \rightarrow \Delta_x$ биекция, $\varphi, \varphi^{-1}$ диференцируеми и $\Delta_x, \Delta_t$ отворени интервали. Ако е изпълнено
\begin{align*}
	\int f(\varphi (t)) d(\varphi(t)) = \int f(\varphi (t)) \varphi '(t) dt = F(t) + C \text{ , то } \int f(x)dx = F\left( \varphi ^{-1}(x) \right) + C
\end{align*}

\newpage

\emph{Интегриране на рационaлни функции: } Нека $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, където $P, Q$ са полиноми на $x$.
\begin{enumerate}
	\item \emph{Свеждане към интегриране на правилна рационална функция} (тоест свеждане към рационална функция с по-малка степен на числителя отколкото на знаменателя)
	
	Ако $\deg P \geq \deg Q$, от алгебрата е извечстно, че $\exists P_1, P_2 : \frac{P(x)}{Q(x)} = P_1 (x) + \frac{P_2 (x)}{Q(x)}, \quad \deg P_2 < \deg Q$.
	
	От тук нататък предполагаме, че $\deg P < \deg Q$.
	
	\item \emph{Разлагане на знаменателя на множители}
	
	Ако $\deg Q = n$, от алгебрата полиномът $Q$ има точно $n$ комплексни корена $z_1, ..., z_n \in \mathbb{C}$ и $Q(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = a_0(x-z_1)(x-z_2) \cdots (x-z_n)$
	
	След доказателство, полиномът $Q$ с реални коефициенти може да се разложи на:\newline
	$Q(x) = a_0 (x-a_1)^{\alpha _1} \cdots (x-a_s)^{\alpha _s}(x^2+p_1x+q_1)^{\beta _1} \cdots (x^2+p_tx + q_t)^{\beta _t} \quad p_j^2 - 4q_j < 0 \forall j \in \{ 1, 2, ..., t \}$
		
	\item \emph{Представяне на рациоанлна функция като сума на елементарни дроби}
	
	Приемаме без доказателство, че за горното съществуват константи $A_1^i, A_2^i, ..., A_{\alpha _i}^i, \; i \in \{ 1, 2, ..., s \}$ $M_j^1, M_j^2, ..., M_j^{\beta _j}, \; N_j^1, N_j^2, ..., N_j^{\beta _j} \; j \in \{ 1, 2, ..., t \}$, такива че за всяко $x$ е изпълнено:
	\begin{align*}
		\frac{P(x)}{Q(x)} = & \sum^s_{i=1} \left( \frac{A_1^i}{x - a_i} + \frac{A_2^i}{(x - a_i)^2} + \cdots + \frac{A_{a_i}^i}{(x - a_i)^{\alpha _i}} \right) + \\
		+ & \sum^t_{t=1} \left( \frac{M_j^1 x + N_j^1}{x^2 + p_j x + q_j} + \frac{M_j^2 x + N_j^2}{(x^2 + p_j x + q_j)^2} + \cdots + \frac{M_j^{\beta _j} x + N_j^{\beta _j}}{(x^2 + p_j x + q_j)^{\beta _j}} \right)
	\end{align*}
	
	Търсим константите. Забелязваме, че те са $\alpha _1 + \cdots + \alpha _s + 2 \beta _1 + \cdots + 2 \beta _t = \deg Q$ на брой.
\end{enumerate}

\hfill

\emph{Елементарна дроб от първи вид: } Рационална функция от вида $\frac{A}{(x-a)^{\alpha}} \quad A, a \in \mathbb{R}, \; \alpha \in \mathbb{N}$
\begin{align*}
	\int \frac{A}{(x-a)^{\alpha}} dx = A \int \frac{d(x-a)}{(x-a)^{\alpha}} = A \int (x-a)^{-\alpha} d(x-a) = \left\{ \begin{array}{ll}
		\frac{(x-a)^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} & \alpha \neq 1 \\
		\ln |x-a| + C & \alpha = 1
	\end{array} \right.
\end{align*}

\hfill

\emph{Елементарна дроб от втори вид: } Рационална функция от вида $\frac{Mx+N}{(x^2 + px + q)^{\beta}} \quad M, N, p, q \in \mathbb{R},$ \newline $\beta \in \mathbb{N}, \; p^2-4q < 0$. Интегрирането и започва със субституция на Хорнер $y = x + \frac{p}{2}$:
\begin{align*}
	& \int \frac{Mx+N}{(x^2 + px + q)^{\beta}} dx = \int \frac{M'y+N'}{(y^2 + b^2)^{\beta}} dy = M' \int \frac{y}{(y^2 + b^2)^{\beta}} dy + N' \int \frac{dy}{(y^2 + b^2)^{\beta}} = \\
	& = \frac{M'}{2} \int \frac{d(y^2 + b^2)}{(y^2 + b^2)^{\beta}} + N' \int \frac{dy}{(y^2 + b^2)^{\beta}} = \cdots
\end{align*}

\vfill

\emph{\color{gray} \footnotesize Изготвено от Камен Младенов <kamen@syndamia.com> \hfill Версия 19.09.2022-2}

\end{document}