1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{topics-style}
\newcommand{\topic}{Базис, размерност и координати}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{05 Февруари 2022}
\begin{document}
\maketitle
По определение, базис е всяка линейно независима система вектори от ненулево линейно простран- ство, чиято линейна обвивка съвпада със самото пространство.
Също по определение, линейно пространство е крайно, когато е нулевото пространство или когато има краен базис.
\lskip
Твърдим, че линейно пространство е крайномерно, тогава и само тогава когато е линейна обвивка на краен брой вектори. А ако пространството е и ненулево, то подмножество на образуващите линейната обвивка вектори може да бъде избрано за базис.
\textbf{Доказателство:} Разглеждаме произволно линейно пространство $V$ над поле $F$. Ако $V = \{ \zv \}$, то $V$ е линейна обвивка на един вектор. Ако $V$ има краен базис, то $V$ е линейна обвивка на краен брой вектори. Нека $V = l(a_1, ..., a_n)$. Ако $a_i = \zv \forall i \in \{ 1, ..., n \}$, то $V = \{ \zv \}$ .
Ако съществува $a_i \neq \zv$, нека след преномерация $a_1 \neq \zv$. Тогава $a_1$ е линейно независим и $l(a_1) \subseteq V$. Ако $l(a_1) = V$, то $V$ е крайномерно, иначе $l(a_1) \subset V = l(a_1, a_2, ..., a_n)$ и съществува вектор (след преномерация) $a_2 \notin l(a_1)$. От лемата за линейна независимост, $a_1, a_2$ са линейно независими.
Аналогично, $l(a_1, a_2) \subseteq l(a_1, ..., a_n)$, ако $l(a_1, a_2) = l(a_1, ..., a_n)$, то $V$ е крайно, иначе след преноме- рация намираме вектор $a_3 \notin l(a_1, a_2)$ и пак от лемата за линейна независимост, $a_1, a_2, a_3$ са линейно независими.
$a_1, ..., a_n$ са краен брой вектори, така че след като направим аналогични разсъждения краен брой пъти, ще намерим линейно независими вектори $a_1, ..., a_k, k \leq n$, за които $l(a_1, ..., a_k) = V$ и са базис на $V$. \epr
Твърдим, че всеки два базиса на ненулево крайномерно пространство имат един и същ брой вектори.
\textbf{Доказателство:} Нека $a_1, ..., a_n$ и $b_1, ..., b_m$ са базиси на линейно пространство $V$ над поле $F$. Съгласно основната лема на линейната алгебра върху $b_1, ..., b_m \in V = l(a_1, ..., a_n)$, следва че $m \leq n$. Аналогично от $a_1, ..., a_n \in V = l(b_1, ..., b_m)$ намираме, че $n \leq m$. Следователно, $m = n$. \epr
По определение, броят на векторите във всеки един базис на ненулево крайномерно пространство $V$ се нарича размерност на $V$ и се бележи с $\dim V$. Ако пространството е нулевото пространство, то размерността е нула. Ако пространството не е крайномерно, размерността е безкрайност.
\lskip
Твърдим, че за вектори $e_1, ..., e_n$ от линейно пространство $V$ над поле $F$, свойства $1)$ и $2)$ са еквивалентни:
$1)$ $e_1, ..., e_n$ е базис на $V$
$2)$ всеки вектор $v \in V$ има единствено представяне като линейна комбинация на векторите $e_1, ..., e_n$ с коефициенти $x_1, ..., x_n \in F$: $v = x_1e_1 + ... + x_ne_n$
\textbf{Доказателство:} $1) \Rightarrow 2)$ По предположение, $V = l(e_1, ..., e_n)$. Допускаме противното, тоест че съществуват поне две различни представяния за произволен вектор $v \in V$: $x_1e_1 + ... + x_ne_n = v = y_1e_1 + ... + y_ne_n, \;\; x_i, y_i \in F, x_i \neq y_i \forall i \in \{ 1, ..., n \}$. То тогава $(x_1 - y_1)e_1 + ... + (x_n - y_n)e_n = \zv$. $e_1, ..., e_n$ са линейно независими, следователно $x_i - y_i = 0 \quad x_i = y_i \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$, противоречие!
$2) \Rightarrow 1)$ От предположение, следва че $x_1e_1 + ... + x_ne_n = \zv = 0e_1 + ... + 0e_n \Rightarrow x_1 = ... = x_n = 0$. Тоест $\zv$ има единствено представяне с нулеви коефициенти и следователно $e_1, ..., e_n$ са линейно независими и базис. \epr
Твърдим, че за ненулево линейно пространство $V$ над поле $F$, $\dim V = n$ тогава и само тогава, когато съществуват $n$ линейно независими вектора във $V$ и произволни $n+1$ вектора са линейно зависими.
\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Нека $\dim V = n$ и $e_1, ..., e_n \in V$ са базис на $V$. То тогава, от лемата за линейната независимост, произволни $n+1$ вектора $a_1, ..., a_{n+1} \in V = l(e_1, ..., e_n)$ са линейно зависими.
$(\Leftarrow)$ Нека $a_1, ..., a_n \in V$ са линейно независими вектори и всички произволни $n+1$ на брой вектора са линейно зависими. Ще докажем, че $a_1, ..., a_n$ са базис на $V$ и $\dim V = n$. Допускаме противното, тоест че $l(a_1, ..., a_n) \subset V$. Тогава от лемата за линейна независимост, съществува $a_{n+1} \in V \setminus l(a_1, ..., a_n)$, такъв че $a_1, ..., a_{n+1}$ са линейно независими. Обаче, всеки $n+1$ на брой вектора са линейно зависими, противоречие! \epr
Твърдим, че за ненулево линейно пространство $V$ над поле $F$, $\dim V = \infty$ тогава и само тогава, когато съществуват $n$ на брой линейно независими вектора от $V$ за всяко естествено $n$.
\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Допускаме противното, тоест $\dim V = \infty$ и за произволно $n$ съществуват произволни линейно зависими вектори $b_1, .., b_n \in V$. Понеже $V$ е ненулево, то със сигурност има поне един линейно независим вектор и $n \geq 2$. Ако $n$ е минималното естествено число с това свойство, то съществуват $n - 1$ линейно независими вектори. Съгласно миналото твърдение, следва че $\dim V = n - 1$, противоречие!
$(\Leftarrow)$ Допускаме противното, тоест за всяко естествено число $n$ съществуват $n$ на брой линейно независими вектора от $V$ и $\dim V \neq \infty$. Понеже $V$ е ненулево, то $\dim V = m$ за някое естествено $m$, тогава от миналото твърдение, произволни $m + 1$ вектора са линейно зависими, противоречие! \epr
Твърдим, че за вектори $a_1, ..., a_n$ от $n$-мерно линейно независимо пространство $V$ над поле $F$, условия $1), 2)$ и $3)$ са еквивалентни:
$1)$ $a_1, ..., a_n$ са линейно независими \hfill $2)$ $l(a_1, ..., a_n) = V$ \hfill $ 3)$ $a_1, ..., a_n$ е базис на $V$
\textbf{Доказателство:} $3) \Rightarrow 1)$ и $2)$ Изпълнено по определение за базис
$1) \Rightarrow 2)$ и $3)$ Допускаме противното, тоест $l(a_1, ..., a_n) \subset V$. Тогава по теоремата за линейна независимост, съществува вектор $a_{n+1} \in V \setminus l( a_1, ..., a_n )$ така че $a_1, ..., a_{n+1}$ са линейно независими. Обаче, от предишно твъдение знаем, че произволни $n+1$ вектора от $n$-мерно пространство са линейно зависими, противоречие!
$2) \Rightarrow 1)$ и $3)$ Допускаме противното, тоест съществува $a_i \in l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$. Тогава $l(a_1, ..., a_{i}, ..., a_n) \subseteq l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$, но също $l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n) \subseteq l(a_1, ..., a_{i}, ..., a_n)$. Следо- вателно, $V = l(a_1, ..., a_n) = l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$, тоест базисът на $V$ може да бъде съставен от най-много $n-1$ вектора, противоречие с n-размерността на $V$! \epr
Твърдим, че в $n$-мерно линейно пространство $V$ над поле $F$, линейно независимите вектори $a_1, ..., a_k$, $k \leq n$ могат да се допълнят до базис $a_1, ..., a_k, a_{k+1}, ..., a_n$ на $V$.
\textbf{Доказателство:} Ако $k = n$, то $a_1, ..., a_k$ са базис на $V$ (от предишно твърдение, "$a_1, ..., a_n$ са линейно независими" е еквивалентно на "$a_1, ..., a_n$ е базис на $V$").
Ако $k < n$, то избираме вектор $b_{k+1} \in V \setminus l(a_1, ..., a_k)$. От основната лема на линейната алгебра, $a_1, ..., a_{k+1}$ са линейно независими вектори. Ако $k+1=n$, то те са базис на $V$, иначе правим ананлогични разсъждения за $a_{k+2}$ и $a_1, ..., a_{k+2}$. След краен брой аналогични стъпки, получаваме $n$ на брой линейно независими вектора $a_1, ..., a_n$, които са базис на $V$ (съгласно случая $k = n$). \epr
\end{document}
|
