[OTO] Fixed exercise 2, updated formatting, removed unfinished ex5

2 files changed, 35 insertions, 19 deletions

diff --git a/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf b/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
index 7a951e6..0c2dfc2 100644
--- a/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
+++ b/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
diff --git a/Year 3/General theory of relativity/Project.tex b/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
index 5e57428..6250fca 100644
--- a/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
+++ b/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
@@ -38,6 +38,8 @@
 
 \maketitle
 
+\vfill
+
 \paragraph{1. Решение}
 
 Собствения часовник в собствената координатна система винаги върви най-бързо, защото отнема време на светлината от единия брат да достигне другия брат.
@@ -45,11 +47,24 @@
 
 \paragraph{2. Решение}
 
-Смятало се е, че светлината се движи през някаква невидима среда (наречена "етер").
+Смятало се е, че светлината се движи през някаква невидима среда, наречена "етер".
 Ако етерът съществувал, то Земята ще се движи през него и би пораждала етеров вятър.
 Светлинен лъч ще се движи по-бързо по посоката на вятъра, по-бавно срещу и нещо средно перпендикулярно.
 
-Разглеждайки два перпендикулярни снопа, изминаващи еднакво разстояние от еднакъв източник, стигайки еднаква дестинация, Майкелсон и Морли експериментално намират обратното: скоростта на светлината никога не се променя (и етер не съществува).
+През 1881г. Майкелсон провежда първи "опит" на експеримента, чрез изобретения си "Майкелсонов интерферометър".
+
+Един светлинен източник е поставен пред центъра на полу-прозрачно огледало, наклонено под $45 \textdegree$ ъгъл (спрямо светлинния източник).
+Светлиния сноп се разделя на две половини от предното лице на огледалото: едната се отразява, докато другата преминава.
+Първата се отразява обратно от подвижно огледало, докато втората се отразява обратно от фиксирано огледало.
+Полу-прозрачното огледало разделя и връщащите се лъчи на две, като остават две четвъртинки снопове от източника, които "излизат" от задното лице на огледалото.
+
+Резултата е, че спрямо различия в скоростите на двете, произлезли от препендикулярни лъчи, четвъртинки снопове се получава интерференчно изображение, от което може тези различията да се измерят.
+Обаче, грешката в прецизността на уреда е била твърде голяма, за да потвърди или опровергае етерът.
+
+През 1887г. Майкелсон и Морли подобравят този апарт, като добавят още огледала, през които двете половинки да се отразяват, преди обратната комбинация, така че различията в скоростите да са по-явни.
+Допълнително, апаратът е бил поставен в подземна затворена стая, върху пясъчник, който сам по себе си е плавал върху живак.
+
+Въртейки апаратът (с много малко съпротивление, благодарение на живакът) и правейки измервания, Майкелсон и Морли намират отрицателен резултат: изчислените разлики са били значително по-малки от теоретическото очакване, за да съществува етър.
 
 \paragraph{3. Решение}
 
@@ -62,23 +77,25 @@ $00800028 \; mod \; 3 = 0$, тоест ще докажем, че ковариа�
 Правим смяна на променлива, от $x$ към $y$, което означава че:
 
 \begin{align*}
-	\tilde{\Gamma}^i {}_{jk} = {\Gamma^a}_{bc} \frac{\partial y^i}{\partial x^a} \frac{\partial x^b}{\partial y^j} \frac{\partial x^c}{\partial y^k} + \frac{\partial y^i}{\partial x^p} \frac{\partial^2 x^p}{\partial y^j \partial y^k}
+	& \tilde{\Gamma}^i {}_{jk} = {\Gamma^a}_{bc} \frac{\partial y^i}{\partial x^a} \frac{\partial x^b}{\partial y^j} \frac{\partial x^c}{\partial y^k} + \frac{\partial y^i}{\partial x^p} \frac{\partial^2 x^p}{\partial y^j \partial y^k}
 	\implies {\Gamma^a}_{bc} = \left( \tilde{\Gamma}^i {}_{jk} - \frac{\partial y^i}{\partial x^p} \frac{\partial^2 x^p}{\partial y^j \partial y^k} \right) \frac{\partial x^a}{\partial y^i} \frac{\partial y^j}{\partial x^b} \frac{\partial y^k}{\partial x^c}
-	\qquad \der x^a = \frac{\partial x^a}{\partial y^i} \der y^i
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
+	\qquad \der x^a = \frac{\partial x^a}{\partial y^i} \der y^i \\
 	& g = g_{ab} \der x^a \der x^b 
 	    = g_{ab} \frac{\partial x^a}{\partial y^i} \der y^i \frac{\partial x^b}{\partial y^j} \der y^j 
 	    = g_{ab} \frac{\partial x^a}{\partial y^i} \frac{\partial x^b}{\partial y^j} \der y^i \der y^j 
 	    = \tilde{g}_{ij} \der y^i \der y^j 
 	    \implies g_{ab} 
 	    = \tilde{g}_{ij} \frac{\partial y^i}{\partial x^a} \frac{\partial y^j}{\partial x^b} \\
+\end{align*}
+
+\newpage
+
+\begin{align*}
 	& \text{Заедно с}
-	  \qquad
+	  \quad
 	  \frac{\partial}{\partial x^i} 
 	  = \frac{\partial}{\partial y^a} \frac{\partial y^a}{\partial x^i}
-	  \qquad
+	  \quad
 	  \text{следва че:} \\
     & \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^k} 
 	  = \frac{\partial y^l}{\partial x^k} \frac{\partial}{\partial y^l} \left( \tilde{g}_{ij} \frac{\partial y^i}{\partial x^a} \frac{\partial y^j}{\partial x^b} \right)
@@ -145,6 +162,8 @@ $00800028 \; mod \; 3 = 0$, тоест ще докажем, че ковариа�
 	= & \tilde{\nabla}_l \, \tilde{g}_{ij} \, \der y^i \der y^j \der y^l = \tilde{\nabla} \tilde{g}
 \end{align*}
 
+\newpage
+
 \paragraph{4. Решение}
 
 Правим смяна на променлива, от $x$ към $y$, което означава че:
@@ -172,10 +191,7 @@ $00800028 \; mod \; 3 = 0$, тоест ще докажем, че ковариа�
 	& \qquad + \tilde{\Gamma}^a {}_{nd} \frac{\partial x^i}{\partial y^a} \cancel{\frac{\partial y^n}{\partial x^m}} \frac{\partial y^d}{\partial x^l} \tilde{\Gamma}^n {}_{bc} \cancel{\frac{\partial x^m}{\partial y^n}} \frac{\partial y^b}{\partial x^j} \frac{\partial y^c}{\partial x^k}
 	+ \tilde{\Gamma}^a {}_{nd} \frac{\partial x^i}{\partial y^a} \frac{\partial y^n}{\partial x^m} \frac{\partial y^d}{\partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^j \partial x^k} \\
 	& \qquad + \tilde{\Gamma}^n {}_{bc} \frac{\partial x^m}{\partial y^n} \frac{\partial y^b}{\partial x^j} \frac{\partial y^c}{\partial x^k} \frac{\partial x^i}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^m \partial x^l}
-	+ \frac{\partial x^i}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^m \partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^j \partial x^k}
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
+	+ \frac{\partial x^i}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^m \partial x^l} \frac{\partial x^m}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^j \partial x^k} \\
 	& \qquad - \tilde{\Gamma}^a {}_{nc} \frac{\partial x^i}{\partial y^a} \cancel{\frac{\partial y^n}{\partial x^m}} \frac{\partial y^c}{\partial x^k} \tilde{\Gamma}^n {}_{bd} \cancel{\frac{\partial x^m}{\partial y^n}} \frac{\partial y^b}{\partial x^j} \frac{\partial y^d}{\partial x^l}
 	- \tilde{\Gamma}^a {}_{nc} \frac{\partial x^i}{\partial y^a} \frac{\partial y^n}{\partial x^m} \frac{\partial y^c}{\partial x^k} \frac{\partial x^m}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^j \partial x^l} \\
 	& \qquad - \tilde{\Gamma}^n {}_{bd} \frac{\partial x^m}{\partial y^n} \frac{\partial y^b}{\partial x^j} \frac{\partial y^d}{\partial x^l} \frac{\partial x^i}{\partial y^p} \frac{\partial^2 y^p}{\partial x^m \partial x^k}
@@ -222,25 +238,25 @@ $00800028 \; mod \; 3 = 0$, тоест ще докажем, че ковариа�
 
 \begin{align*}
 	 & \frac{\partial}{\partial x^c} {\Gamma^i}_{ab} - \frac{\partial}{\partial x^c} {\Gamma^i}_{ba} = \frac{\partial}{\partial x^c} {\Gamma^i}_{ab} - \frac{\partial}{\partial x^c} {\Gamma^i}_{ab} = 0 \\
-	 & \text{Аналогично } \frac{\partial}{\partial x^b} {\Gamma^i}_{ca} - \frac{\partial}{\partial x^b} {\Gamma^i}_{ac} = 0 \quad \frac{\partial}{\partial x^a} {\Gamma^i}_{bc} - \frac{\partial}{\partial x^a} {\Gamma^i}_{cb} = 0
-\end{align*}
-
-\begin{align*}
+	 & \text{Аналогично} \quad \frac{\partial}{\partial x^b} {\Gamma^i}_{ca} - \frac{\partial}{\partial x^b} {\Gamma^i}_{ac} = 0 \quad \frac{\partial}{\partial x^a} {\Gamma^i}_{bc} - \frac{\partial}{\partial x^a} {\Gamma^i}_{cb} = 0 \\
 	& {\Gamma^i}_{mc} {\Gamma^m}_{ab} - {\Gamma^i}_{mc} {\Gamma^m}_{ba} = {\Gamma^i}_{mc} {\Gamma^m}_{ab} - {\Gamma^i}_{mc} {\Gamma^m}_{ab} = 0 \\
-	& \text{Аналогично } {\Gamma^i}_{mb} {\Gamma^m}_{ca} - {\Gamma^i}_{mb} {\Gamma^m}_{ac} = 0 \quad {\Gamma^i}_{ma} {\Gamma^m}_{bc}  - {\Gamma^i}_{ma} {\Gamma^m}_{cb} = 0
+	& \text{Аналогично} \quad {\Gamma^i}_{mb} {\Gamma^m}_{ca} - {\Gamma^i}_{mb} {\Gamma^m}_{ac} = 0 \quad {\Gamma^i}_{ma} {\Gamma^m}_{bc}  - {\Gamma^i}_{ma} {\Gamma^m}_{cb} = 0
 \end{align*}
 
 Следователно ${R^i}_{abc} + {R^i}_{bca} + {R^i}_{cab} = 0$
 
+\iffalse %% Не се изкарва
 \paragraph{5. Решение}
 
-Правим смяна на координатна система от $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ на $(x^0, R, \varphi, \theta)$, такава че:
+Правим смяна на координатна система от $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ на $(t, R, \varphi, \theta)$, такава че:
 
 \begin{align*}
+	x^0 = t \quad
 	x^1 = R \cos \theta \cos \varphi \quad
 	x^2 = R \cos \theta \sin \varphi \quad
 	x^3 = R \sin \theta
 \end{align*}
+\fi
 
 \paragraph{6. Решение}