Finished dis hw2

2 files changed, 52 insertions, 32 deletions

diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
index 9295ac4..1481ea5 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
+++ b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
index 262e8d6..4a2ec19 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
+++ b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
@@ -68,11 +68,6 @@
 	\parch{0.5}{-} ;
 \end{tikzpicture}
 
-Ако съществува $l = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n$, то
-\begin{align*}
-	l = \frac{2l^2 - l + 6}{l - 6} \qquad l^2 - 6l = 2l^2 - l + 6 \qquad 0 = l^2 + 5l + 6 \implies l_1 = -2 \;,\; l_2 = -3
-\end{align*}
-
 Разглеждаме положението на $a_{n+1}$ спрямо -3, -2 и 6
 
 \noindent
@@ -147,28 +142,50 @@
 	\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
 		$a_n$ & $-\infty$ & -3 & & -2 & & $\frac{3}{2}$ & & 2 & & 6 & $+\infty$ \\
 		\hline
-		$a_{n+1} - a_n$ & - & \vdots & + & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1} - (-3)$ & - & \vdots & + & \vdots & + & \vdots & + & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1} - (-2)$ & - & \vdots & - & \vdots & + & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1} - 6$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1} - \frac{3}{2}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1} - 2$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
-		$a_{n+1}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & + \\
+		$a_{n+1} - a_n$ & - & 0 & + & 0 & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1} - (-3)$ & - & 0 & + & \vdots & + & \vdots & + & 0 & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1} - (-2)$ & - & \vdots & - & 0 & + & 0 & - & \vdots & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1} - \frac{3}{2}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1} - 2$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\
+		$a_{n+1} - 6$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\
 	\end{tabular}
 \end{center}
 
-\textbf{I. Случай} $\lambda < -3$ \quad Знаем, че $a_{n+1} - a_n$ е винаги намаляваща $\implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty$
-
-\textbf{II. Случай} $\lambda \in (-3, -2)$
-
-\textbf{III. Случай} $\lambda \in (-2, \frac{3}{2})$
-
-\textbf{IV. Случай} $\lambda \in (\frac{3}{2}, 2)$
-
-\textbf{V. Случай} $\lambda \in (2, 6)$ \quad Знаем, че $a_{n+1} - a_n$ е винаги намаляваща $\implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = -\infty$
+\begin{enumerate}[label={\textbf{\arabic*. Случай}},leftmargin=5.8em]
+	\item $\lambda < -3$ \quad В този интервал $a_{n+1} < a_n$, следователно $a_{n+1} < -3$ и редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ не е сходяща.
+	
+	\item $\lambda = -3$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. Ще докажем по индукция, че $a_n = -3$:
+	\begin{itemize}
+		\item \emph{База:} Вярно за $a_1, a_2, a_3$
+		\item \emph{Индукционно предположение:} $a_{n-1} = -3$ за някое $n \geq 1$.
+		\item \emph{Индукционна стъпка:} $a_n \xlongequal{def} \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \xlongequal{\text{ИП}} \frac{2 \cdot 9 + 3 + 6}{-3 -6} = -3$
+	\end{itemize}
+	То тогава редицата е стационарна и следователно сходяща.
 
-\textbf{VI. Случай} $\lambda > 6$ \quad Знаем, че $a_{n+1} - a_n$ е винаги растяща $\implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = +\infty$
+	\item $\lambda \in (-3, -2)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$. Ще докажем по индукция, че $a_n \in (-3; -2)$:
+	\begin{itemize}
+		\item \emph{База:} Вярно за $a_1, a_2, a_3$
+		\item \emph{Индукционно предположение:} $a_{n-1} \in (-3; -2)$ за някое $n \geq 1$.
+		\item \emph{Индукционна стъпка:} $a_n \xlongequal{def} \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{>} \frac{2(-3)^2 - (-3) + 6}{(-3) - 6} = -3$ \newline
+		$\- \qquad \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{<} \frac{2(-2)^2 - (-2) + 6}{(-2) - 6} = -2$
+	\end{itemize}
+	То тогава редицата е ограничена отдолу и отгоре. Следователно тя е сходяща.
+	
+	\item $\lambda = -2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.	
+	
+	\item $\lambda \in \left(-2, \frac{3}{2}\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_1, a_2 > -2$. Знаем, че $a_{n+1} < \frac{3}{2}$, тоест по индукция намираме, че $a_n \in \left(-2; \frac{3}{2}\right)$. То редицата е огрничена и следователно сходяща.
 
+	\item $\lambda = \frac{3}{2}$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.
+	
+	\item $\lambda \in \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$ и по индукция $a_n \in (-3; -2)$. Тоест редицата е ограничена и следователно сходяща.
+	
+	\item $\lambda = 2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.
+	
+	\item $\lambda \in (2, 6)$ \quad По индукция намираме, че $a_n < -3$. $a_{n+1} < a_n$, следователно редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест не е сходяща.
+	
+	\item $\lambda > 6$ \quad По индукция намираме, че $a_n > 6$. Знаем, че $a_{n+1} > a_n$, следователно редицата е монотонно растяща, но не е ограничена отгоре. Тоест не е сходяща.
+\end{enumerate}
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.}}
 
@@ -197,7 +214,7 @@
 \paragraph{Решение:}
 
 \begin{align*}
-	\arctg(\ln(x+1)) \sim \ln(x+1) \quad x \rightarrow 0 \qquad \sqrt[3]{5x + 1} = \underbrace{(1 + 5x)^{\frac{1}{3}} - 1}_{\sim \frac{5x}{3} \quad x \rightarrow 0} + 1 \qquad \sqrt[4]{7x + 1} = \underbrace{(1 + 7x)^{\frac{1}{4}} - 1}_{\sim \frac{7x}{x} \quad x \rightarrow 0} + 1
+	\arctg(\ln(x+1)) \sim \ln(x+1) \quad x \rightarrow 0 \qquad \sqrt[3]{5x + 1} = \underbrace{(1 + 5x)^{\frac{1}{3}} - 1}_{\sim \frac{5x}{3} \quad x \rightarrow 0} + 1 \qquad \sqrt[4]{7x + 1} = \underbrace{(1 + 7x)^{\frac{1}{4}} - 1}_{\sim \frac{7x}{4} \quad x \rightarrow 0} + 1
 \end{align*}
 \begin{align*}
 	\implies \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{5x + 1} - \sqrt[4]{7x + 1}}{\arctg(\ln(x+1))} \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{5x}{3} + 1 - \left( \frac{7x}{4} + 1 \right)}{\ln(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{20x - 21x}{12}}{\ln(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{x}{12 \ln(x+1)} = L
@@ -216,11 +233,12 @@
 \paragraph{Решение:}
 
 \begin{align*}
-	g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 7x}} = (1 - 7x)^{\frac{1}{2}} \qquad h(x) = x^3 \qquad\qquad \implies f(x) = g(x) \cdot h(x)
+	g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 7x}} = (1 - 7x)^{-\frac{1}{2}} \qquad h(x) = x^3 \qquad\qquad \implies f(x) = g(x) \cdot h(x)
 \end{align*}
 \begin{align*}
-	g^{(n)}(x) = \left( (1 - 7x)^{\frac{1}{2}} \right)^{(n)} & = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{2} - 2 \right) \cdots \left( \frac{1}{2} - n + 1 \right) \cdot x^{\frac{1}{2} - n} \cdot 1^n = \\
-	& = \frac{1(-1)(-3) \cdots (1-2n+2)}{2^n} \cdot x^{\frac{1}{2} - n}
+	g^{(n)}(x) = \left( (1 - 7x)^{-\frac{1}{2}} \right)^{(n)} & = \left(-\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} - 1 \right) \left( -\frac{1}{2} - 2 \right) \cdots \left( -\frac{1}{2} - n + 1 \right) \cdot x^{-\frac{1}{2} - n} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} = \\
+	& = \frac{(-1)(-3)(-5) \cdots (-1-2n+2)}{2^n} \cdot x^{-\frac{1}{2} - n} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} = \\
+	& = \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \cdot x^{-\frac{1+2n}{2}} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}}
 \end{align*}
 \begin{align*}
 	h^{(0)}(x) = h(x) = x^3 \quad h'(x) = 3x^2 \quad h''(x) = 6x \quad h'''(x) = 6 \quad h^{IV}(x) = 0 \quad \implies h^{(n)}(x) = 0 \quad n \geq 4
@@ -228,12 +246,14 @@
 \begin{align*}
 	f^{(n)} & = \sum_{k = 0}^n g^{(n-k)} h^{(k)} = \binom{n}{0}g^{(n)}h^{(0)} + \binom{n}{1}g^{(n-1)}h^{(1)} + \binom{n}{2}g^{(n-2)}h^{(2)} + \binom{n}{3}g^{(n-3)}h^{(3)} + \\
 	& \quad + \underbrace{\binom{n}{4}g^{(n-4)}h^{(4)} + \cdots + \binom{n}{0}g^{(0)}h^{(n)}}_{0} = \\
-	& = 1 \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^n} \; x^{\frac{1}{2} - n} \cdot x^3 + n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^n} \; x^{\frac{3}{2} - n} \cdot 3x^2 + \\
-	& \quad + \frac{n!}{2(n-2)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^n} \; x^{\frac{5}{2} - n} \cdot 6x + \frac{n!}{6(n-3)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (9-2n)}{2^n} \; x^{\frac{7}{2} - n} \cdot 6 = \\
-	& = \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^n} \; x^{\frac{7}{2} - n} + 3n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^n} \; x^{\frac{7}{2} - n} + \\
-	& \quad + 3n(n-1) \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^n} \; x^{\frac{7}{2} - n} + n(n-1)(n-2) \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (9-2n)}{2^n} \; x^{\frac{7}{2} - n} = \\
-	& = \answerbox{x^{\frac{7}{2} - n} \; \frac{(-1)(-3) \cdots (9-2n)}{2^n} \left( (8-2n)\cdots (3-2n) + 3n \cdot (8-2n) \cdots (5-2n) + \right.} \\
-	& \;\,\quad \answerbox{\left. + 3n^{\underline{2}} \cdot (8-2n)(7-2n) + n^{\underline{3}} \right)}
+	& = 1 \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \; x^{-\frac{1+2n}{2}} \; 7^n \; (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} \cdot x^3 \\
+	& \quad + n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-1}{2}} \; 7^{n-1} \; (1-7x)^{-\frac{2n-1}{2}} \cdot 3x^2 \\
+	& \quad + \frac{n!}{2(n-2)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^{n-2}} \; x^{-\frac{2n - 3}{2}} \; 7^{n-5} \; (1-7x)^{-\frac{2n-2}{2}} \cdot 6x \\
+	& \quad + \frac{n!}{6(n-3)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^{n-3} \; (1-7x)^{-\frac{2n-7}{2}} \cdot 6 = \\
+	& = \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^n \; (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} \\
+	& \quad + 3n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^{n-1}} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^{n-1} \; (1-7x)^{-\frac{2n-1}{2}} \\
+	& \quad + 3\frac{n!}{(n-2)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^{n-2}} \; x^{-\frac{2n-7}{2}} \; 7^{n-5} \; (1-7x)^{-\frac{2n-2}{2}} \\
+	& \quad + \frac{n!}{(n-3)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-2}{2}} \; 7^{n-3} \; (1-7x)^{-\frac{2n-7}{2}} = \\
 \end{align*}
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 5.}}