[A2/H1/E2] Solved second exercise

2 files changed, 85 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b8f48ed
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..01b51d8
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+\renewcommand{\thesubsection}{(\roman{subsection})}
+
+\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 1 по А2},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №1, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{7 Април 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\subsection{Подточка}
+
+Ще покажем, че $L$ е подгрупа на $G$, тоест ще докажем, че $\forall l, m \in L \Rightarrow l.m \in L, m^{-1} \in L$.
+
+Нека $l = g^{na_1 + kb_1}, m = g^{na_2 + kb_2}$ за произволни фиксирани $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z}$:
+\begin{align*}
+	& l.m = g^{na_1 + kb_1} g^{na_2 + kb_2} = g^{na_1 + kb_1 + na_2 + kb_2} = g^{n(a_1 + b_1) + k(a_2 + b_2)}, \quad a_1 + b_1, a_2 + b_2 \in \mathbb{Z} \implies l.m \in L \\
+	& m^{-1} = g^{-(na_2 + kb_2)} = g^{-na_2 - kb_2} = g^{n(-a_2) + k(-b_2)}, \quad -a_2, -b_2 \in \mathbb{Z} \implies m^{-1} \in L
+\end{align*}
+
+\subsection{Подточка}
+
+Ще покажем, че $L = \langle g^d \rangle$, тоест че $\{g^{na + kb} \mid a,b \in \mathbb{Z}\} = \{g^{dp} \mid p \in \mathbb{Z}\}$.
+
+Разглеждаме произволно $g^{na + kb}$:
+\begin{align*}
+	& d = \gcd(n,k) \Rightarrow \frac{n}{d} = n', \frac{k}{d} = k' \text{ за някои } n', k' \in \mathbb{N} \qquad na + kb = dn'a + dk'b = d(n'a + k'b) \\
+	& n', k' \in \mathbb{N}, a, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow (n'a + k'b) \in \mathbb{Z}, \text{ тоест } g^{na + kb} = g^{d(n'a + k'b)} = g^{dp} \text{ за някое } p \in \mathbb{Z}
+\end{align*}
+
+\subsection{Подточка}
+
+Ще покажем, че $\langle g^n \rangle \cap \langle g^k \rangle = \langle g^m \rangle$, тоест че $\{g^{ni} \mid i \in \mathbb{Z}\} \cap \{g^{ki} \mid i \in \mathbb{Z}\} = \{g^{mi} \mid i \in \mathbb{Z}\}$.
+
+Разглеждаме произволни $g^{ni}, g^{ki}, g^{mi}$:
+\begin{align*}
+	& m = \lcm(n, k) \Rightarrow \frac{m}{n} = n', \frac{m}{k} = k' \text{ за някои } n', k' \in \mathbb{N} \\
+	& g^{mi} = g^{nn'i}, n' \in \mathbb{N}, i \in \mathbb{Z} \Rightarrow n'i \in \mathbb{Z} \Rightarrow g^{mi} = g^{nj} \text{ за някое } j \in \mathbb{Z} \\
+	& \text{Абсолютно аналогично, следва че } g^{mi} = g^{kj} \text{ за някое } j \in \mathbb{Z} \\
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file