Removed old markdown notes files

1 files changed, 0 insertions, 251 deletions

diff --git a/Year 1/Discrete math/notes.md b/Year 1/Discrete math/notes.md
deleted file mode 100644
index c1f5b1c..0000000
--- a/Year 1/Discrete math/notes.md
+++ /dev/null
@@ -1,251 +0,0 @@
-- *Свойства на константите*
-  p ∧ T ≡ p, p ∨ F ≡ p, p ∨ T ≡ T, p ∧ F ≡ F
-- *Свойства на отрицанието*
-  p ∧ ¬p ≡ F, p ∨ ¬p ≡ T
-- *Закон за двойното отрицание*
-  ¬(¬p) ≡ p
-
-- *Идемпотентност*
-  p ∨ p ≡ p, p ∧ p ≡ p
-- *Комутативност*
-  p ∨ q ≡ q ∨ p, p ∧ q ≡ q ∧ p
-- *Асоциативност*
-  (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r), (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
-- *Дистрибутивност*
-  p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
-- *Закони на De Morgan*
-  ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
-
-- *Поглъщане*
-  p ∨ (p ∧ q) ≡ p, p ∧ (p ∨ q) ≡ p
-- *Свойство на импликацията*
-  p → q ≡ ¬p ∨ q
-- *Свойство на би-импликацията*
-  p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
-
-# Лекция 2: Множества
-
-Множество, което не съдържа себе си, е обикновено.
-Множество, което съдържа себе си, е необикновено.
-
-### Аксиоми
-
-- *Аксиома 1: Аксиома за обема*
-  Две множества са равни тстк съдържат едни и същи елементи (редът е без значение)
-
-- *Аксиома 2: Аксиома за отделянето*
-  Ако X е множество и π е предикат с домейн X , то съвкупността Y от елементите на X , които имат свойството π , е множество.
-  B = {a ∈ A : π(a)}. Казваме, че B е подмножество на A
-
-- *Аксиома 3: Аксиома за степенното множество*
-  За всяко множество X съществува множеството от всички негови подмножества, което наричаме степенното множество на X
-
-- *Аксиома 4: Максимално по включване множество*
-  Множество, за което свойството (предикатът) е в сила, но то не е в сила за никое същинско негово надмножество
-  1) σ(B) и
-  2) ∀C(B ⊂ C ⊆ A → ¬σ(C))
-
-  *Минимално по включване множество*
-  Такова подмножество, за което свойството (предикатът) е в сила, но то не е в сила за никое същинско негово подмножество.
-  1) σ(B) и
-  2) ∀C(C ⊂ B → ¬σ(C))
-
-### Операции
-
-- *Симетрична разлика*
-  A ▵ B = { a | a ∈ A ⊕ a ∈ B }
-  {a, b, c, d} ▵ {a, b, x, y} = {c, d, x, y}
-
-### Наредена двойка
-
-(Дефиниция на Kuratowski) Всяко множество {{a}, {a, b}} наричаме наредена двойка с първи елемент a и втори елемент b. Краткият запис е “(a, b)”.
-
-### Разбиване и покриване
-
-- *Покриване на A*
-  Всяка фамилия X = {X1, X2, ..., Xk}, k >= 0
-  1) ∀i ∈ {1, 2, ..., k} : Xi ⊆ A
-  2) ∀i ∈ {1, 2, ..., k} : Xi =/= ∅
-  3) U_{i = 1} ^{k} Xi = A
-  Тоест, всяка фамилия, чието обединение на множества е даденото множество.
-
-  А = {a, b, c, d}
-  {{a, b, d}, {b, c}, {a, b, c, d}}
-
-- *Разбиване на A*
-  Всяка фамилия X = {X1, X2, ..., Xk}, k >= 0
-  1) ∀i ∈ {1, 2, ..., k} : Xi ⊆ A
-  2) ∀i ∈ {1, 2, ..., k} : Xi =/= ∅
-  3) U_{i = 1} ^{k} Xi = A
-  4) ∀i∀j(1 <= i < j <= k → Xi ∩ Xj = ∅)
-  Тоест, покриване, при което няма общи елементи между множествата във фамилията.
-
-  {{a, c}, {b}, {c}}
-
-# Лекция 3: Релации
-
-Релация над декартовото произведение A1 x A2 x ... x An се нарича всяко множество R ⊆ A1 x A2 x ... x An
-
-### Свойства на релации от вида R ⊆ A^2
-
-- *Рефлексивност* ∀a ∈ A : aRa
-  - *Антирефлексивност* ∀a ∈ A : ¬aRa
-- *Симетричност* ∀a, b ∈ A, a =/= b : aRb → bRa
-  - *Антисиметричност* ∀a, b ∈ A, a =/= b : aRb → ¬bRa
-  - *Силна антисиметричност* ∀a, b ∈ A, a =/= b : aRb ⊕ bRa
-- *Транзитивност* ∀a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc → aRc
-
-- *Затваяне на релация*
-  R' - рефлексивно затваряне
-  1) R' ⊆ A^2
-  2) R ⊆ R'
-  3) R' е рефлексивна
-  Аналогично за симетрично и транзитивно затваряне
-
-- *Релация на еквивалентност* рефлексивна, симетрична, транзитивна
-- *Класове на еквивалентност* (Само за релации на еквивалентност)
-  [a] = { b ∈ A | aRb }
-
-- *Релация на частична (нестрога) наредба* рефлексивна, антисиметрична, транзитивна
-  - *Минимален елемент* а е минимален, ако ¬∃b ∈ A, a =/= b : bRa
-  - *Максимален елемент* a е максимален, ако ¬∃b ∈ A, a =/= b : aRb
-- *Релация на частична строга наредба* антирефлексивна, антисиметрична, транзитивна
-
-- *Релация на линейна (нестрога) наредба* рефлексивна, силно антисиметрична, транзитивна
-  - *Линейно разширение* Частична наредба R ⊆ A^2, линейна наредба R' ⊆ A^2, R ⊆ R' => R' е линейно разширение на R
-- *Релация на линейна строга наредба* антирефлексивна, силно антисиметрична, транзитивна
-
-- *Верига* всяка редица ai0, ai1, ..., aik където i0,...,ik ∈ {1,...,n}, aij R aij+1 и aij =/= aij+1 за 0 <= j < k
-  Редица от елементи, където всеки два съседни елемента са в релация
-  - веригите не минават през примки
-- *Контур* ако за верига, ai0 = aik и k > 0
-  Редица от елементи, където всеки два съседни елемента са в релация и първия и последния също са в релация
-
-# Лекция 4: Функции
-
-- *Тотална функция* Всяка релация f ⊆ X x Y, за всяко x, има точно едно y, (x, y) ∈ f
-- *Частична функция* Всяка релация f ⊆ X x Y, за всяко x, има поне едно y, (x, y) ∈ f
-
-- *Инекция* Всеки елемент води до единствен друг елемент (може не всички елемeнти от другите да са "покрити")
-- *Сюрекция* Всеки елемент от другите е "покрит" от един или повече елементи
-- *Биекция* Едно към едни между елементите
-
-- *Крайно множество*
-  Ако А е празното, то имаме кардиналност 0
-  Иначе, трябва да съществува n, за което имаме биекция f : A → {1, 2, ..., n}
-- *Безкрайно множество* ако не е крайно
-
-- *Изброимо безкрайно множество* Равномощно на ℕ
-
-### Принцип на Дирихле
-
-За крайни X и Y, |X| > |Y|, то няма инекция f: X → Y
-
-Ако има m обекта в n чекмеджета и m > n, то в поне едно чекмедже има повече от един обект
-
-# Лекция 5: Изброителна комбинаторика
-
-- *Първи принцип*: Принцип на Дирихле
-- *Втори принцип*: Принцип на разбиването
-  За множество X и негово разбиване {Y1, ..., Yk}, |X| = |Y1| + ... + |Yk|
-  - Принцип на изваждането
-    За множество A и универсум A, |A| = |U| - |A̅|
-- *Трети принцип*: Принцип на умножението
-  |A x B| = |A| * |B|
-- *Четвърти принцип*: Пинцип на биекцията
-  |A| = |B| тстк съществува биекция f: A → B
-- *Пети принцип*: Принцип на делението
-  k на брой класове на еквивалентност [a], |[a]| = m
-  m = |A|/k
-- *Шести принцип*: Принцип на включването и изключването
-  При разбиването, кардиналността е сума от кардиналностите на дяловете на разбиване
-  Тук, кардиналноста е сума от дяловете на покритие и изваждане на техните сечения.
-  |A1 U ... U An| = Σ{1 <= i <= n} |Ai| - Σ{1 <= i < j <= n} |Ai ∩ Aj| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ ... ∩ An|
-
-# Лекция 6: Комбинаторни конфигурации
-
-Дадено е опорно множество А = {a1, a2, ..., an} чрез което изграждаме комбинаторни конфигурации.
-n е брой елементи в A. m е брой елементи в конфигурация.
-
-- *Множество от конфигурациите с наредба, с повтаряне*
-  К\_{Н,П}(n, m) = A^m
-  |К\_{Н,П}(n, m)| = |A^m| = n^m
-
-  А = {a, b, c}, m = 2
-  К\_{Н,П}(3, 2) = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
-
-- *Множество от конфигурациите с наредба, без повтаряне*
-  К\_{Н}(n, m)
-  |К\_{Н}(n, m)| = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1) = n на падаща степен m
-
-  А = {a, b, c}, m = 2
-  К\_{Н}(3, 2) = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)}
-  - частен случай: n = m. Тогава това са *пермутации без повторения* и |К\_{Н}(n, m)| = n!
-  - *пермутации с повторения*
-
-- *Множество от конфигурациите без наредба, без повтаряне*
-  K(n, m); Комбинации/Подмножество
-  |K(n, m)| = |K\_{Н}(n, m)|/m! = n!/((n-m)!m!) = (n на падаща степен m)/m! = биномен коефициент (n m)
-
-
-- *Нютонов бином* (x + y)^n  = Σ\_{k=0}^n (n k) * x^k * y^(n-k)
-
-# Лекция 7: Рекурентни уравнения
-
-Уравнение, при което дясната му страна включва и самото уравнение и имаме начално условие(ия)
-
-Tn = { nT\_(n-1) ако n >= 1
-     { 1, ако n = 0
-Не е с константни коефициенти
-
-Sn = { S\_(n-1) + S\_(n-2) + ... + S1 + S0 ако n >= 1
-     { 1 ако n = 0
-Не е с крайна история
-
-### Алгоритъм за решаване на рекурентни уравнения от определен вид
-
-1. *Характеристично уравнение* Заместваме an с x^n, a\_(n-1) с x^(n-1) и так. нат. Делим на x^(n-k).
-   x^k - c1 * x^(k-1) - c2 * x^(k-2) - ... - c\_(k-1) * x - c\_k = 0
-
-2. *Общо решение* Нека {α1, α2, ..., αk}\_M е мултимножество от корените
-   a\_n = A1 * α1^n + A2 * α2^n + ... + Ak * αk^n    където A1,...,Ak са неизвестни константи
-   Ако има еднакви α корени, то ние умножаваме и с n^k в нарастващ ред на ка, тоест ако примерно α1 = α2 = a3 != α4 != α5
-   а\_n = A1 * α1^n + A2 * α2^n * n^1 + A3 * α3^n * n^2 + A4 * α4^n + A5 * α5^n
-
-3. *Точно решение* Ако началните условия не са дадени, общто решение е отговора.
-   Ако са дадени, те ще са k на брой и ще намерим A1,...,Ak като заместим n със стойностите на аргумента в началните условия.
-   Ще получим система от k линейни уравнения с k неизвестни. След като я решим, със заместваме ще стигнем до точното решение.
-
-Пример: аn = 12a\_(n-1) - 51a\_(n-2) + 92a\_(n-3) - 60a\_(n-4) с начални условия a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 6
-
-1. Характеристично уравнение - x^4 - 12x^3 + 51x^2 - 92x + 60 = 0 ↔ (x - 2)^2 * (x - 3) * (x - 5) = 0
-
-2. Мултимножеството от корените му е {2, 2, 3, 5}\_M
-   Общото решение е  а\_n = A * 2^n + B * n * 2^n + C * 3^n + D * 5^n
-
-3. а1 = A * 2^1 + B * 1 * 2^1 + C * 3 ^ 1 + D * 5^1
-   a2 = A * 2^2 + B * 2 * 2^2 + C * 3 ^ 2 + D * 5^2
-   a3 = A * 2^3 + B * 3 * 2^3 + C * 3 ^ 3 + D * 3^3
-   a4 = A * 2^4 + B * 4 * 2^4 + C * 3 ^ 4 + D * 5^4
-
-   1 = 2A + 2B + 3C + 5D
-   2 = 4A + 8B + 9C + 25D
-   4 = 8A + 24B + 27C + 125D
-   6 = 16A + 64B + 81C + 625D
-
-   Излиза, че A = 2/9  B = -1/6  C = 1/3  D = -1/45
-
-   an = 2^(n+1)/9 - n * 2^n/6 + 3^(n-1) - 5^n/45
-
-### Решаване на рекурентни нехомогенни уравнения от определен вид
-
-an = c1 * a\_(n-1) + ... + ck * a\_(n-k) + p1(n) * b1^n + ... + pl(n) * bl^n
-     \_________________________________/   \_______________________________/
-             хомогенна част                        нехомогенна част
-
-Изъплняваме стъпки 1 от решаването на рекуренти уравнения от определен вид само с хомогенната част и игнорираме нехомогенната.
-Намираме мултимножеството, обединяваме го с мултимножеството на нехомогенната част.
-Изпълняваме стъпка 2 и 3 от решаването на рекуренти уравнения от определен вид, като използваме полученото мултимножество.
-  Понеже имаме само k начални условия, а обединението изисква k+l, ще направим още l начални условия.
-
-Уравнения като T(n) = 2T(n-1) + ⌈√n⌉ или S(n) = S(n - 1) + 1/n не могат да се решат с този алгоритъм.