diff options
Fully solved ex4 from algebra hw3
2 files changed, 75 insertions, 62 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf | bin | 39065 -> 39632 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex | 137 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf Binary files differindex e120d70..38a8b6e 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex index 2f04271..8b8f562 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex @@ -56,9 +56,9 @@ \paragraph{Решение:} -Нека базиса на $U$ да бъде $e = (e_1, ..., e_n)$. По определение, $A = (\varphi (e_1), ..., \varphi (e_n))$, образувана по стълбове, и понеже $A$ има 5 стълба, то $n = 5$ и $\dim U = 5$. +Нека $e = (e_1, ..., e_n)$ да е базис на $U$. По определение, $A = (\varphi (e_1), ..., \varphi (e_n))$, образувана по стълбове, и понеже $A$ има 5 стълба, то $n = 5$ и $\dim (U) = 5$. -Понеже $\ker \varphi = \{ u \in U \mid \varphi (u) = eAx = \mathcal{O} \}$, знаем че координатните стълбове $x$ са решения на $Ax = \mathbb{O}$. Разглеждаме $A$: +Ще намерим базис на $\ker (\varphi)$. Търсим $u \in U$, такова че $\varphi (u) = Au = \mathcal{O}$. Разглеждаме $A$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ @@ -69,18 +69,9 @@ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме трети ред с втори. Умножаваме първи по -2 и събираме с} \\ - & \text{трети. Събираме първи с четвърти и пети.} - \end{aligned} \\ - & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} - 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & -5 & -1 & -4 & 0 \\ - 0 & 5 & 2 & 3 & 0 \\ - 0 & 4 & 0 & 4 & 0 - \end{array} \right) - \quad \begin{aligned} - & \text{Събираме трети ред с четвърти. Събираме новополучелият се} \\ - & \text{четвърти ред с трети. Делим трети на -5 и пети на 4.} + & \text{трети. Събираме първи с четвърти и пети. Събираме новополучилият} \\ + & \text{се трети ред с четвърти. Събираме новополучелият се четвърти} \\ + & \text{ред с трети. Делим трети на -5 и пети на 4.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ @@ -92,30 +83,29 @@ \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме трети ред по -1 и събираме с пети.} \\ & \text{Умножаваме трети ред по -3 и събираме с първи.} \\ - & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събираме с първи.} + & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събираме с първи.} \\ + & \text{Разменяме втори с трети и трети с четвърти. Изпускаме четвърти и пети.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Разменяме втори с трети и трети с четвърти. Изпускаме четвърти и пети.} \\ - & \text{Резултатът е матрица от коефициенти на системата от решения, с която} \\ - & \text{представяме } \ker (\varphi). \text{ Нейното общо решение е:} \\ - & x_1 = -x_4 -2x_5, \quad x_2 = -x_4, \quad x_3 = x_4, \quad \forall x_4, x_5 \in U + & \text{Общото решение на хомогенната система е:} \\ + & x_1 = -x_4 -2x_5, \quad x_2 = -x_4, \quad x_3 = x_4, \quad \forall x_4, x_5 \in U \\ + & \text{Нейна фундаментална система решения е: } (-2, 0, 0, 0, 1), \; (-1, -1, 1, 1, 0) \end{aligned} \end{align*} -Избираме фундаментална система решения за $\ker (\varphi)$: $a_1 = (-2, 0, 0, 0, 1), \; a_2 = (-1, -1, 1, 1, 0)$. Следователно $d (\varphi) = \dim \ker (\varphi) = 2$. От теоремата за ранга и дефекта на линейно изображение в крайномерно пространство, $\rk (\varphi) := \dim \im (\varphi) = \dim(U) - \dim \ker (\varphi) = 3$. +Следователно $d (\varphi) = \dim (\ker (\varphi)) = 2$. От Теоремата за ранга и дефекта на линейно изображение в крайномерно пространство, $\rk (\varphi) := \dim (\im (\varphi)) = \dim(U) - \dim (\ker (\varphi)) = 3$. -Знаем и, че $\im (\varphi) = l(\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5))$, то тогава три непропорционални вектора от $\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5)$ образуват базис на $\im (\varphi)$. Избираме: +По Теорема, $\im (\varphi) = l(\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5))$. То тогава три непропорционални вектора от $\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5)$ образуват базис на $\im (\varphi)$. Избираме: \begin{align*} - \varphi(e_1) = (1, -2, 2, -1, -1), \quad \varphi(e_2) = (3, -1, 1, 2, 1) \quad\text{и}\quad \varphi(e_3) = (2, -3, 3, 0, -2) + \varphi(e_1) = (1, -2, 2, -1, -1)^t, \quad \varphi(e_2) = (3, -1, 1, 2, 1)^t \quad\text{и}\quad \varphi(e_3) = (2, -3, 3, 0, -2)^t \end{align*} -За да намерим пространство от решения на $\im (\varphi)$, решаваме хомогенна система линейни уравнения с марица от коефициенти: + +Ще намерим пространство от решения на $\im (\varphi)$. Решаваме матрица от коефициенти на базиса: \noindent \begin{align*} @@ -129,7 +119,7 @@ & \text{Умножаваме първи ред по -2 и събираме с трети.} \\ & \text{Разменяме втори и трети ред.} \end{aligned} \\ - & \left( \begin{array}{rrrrr} + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 5 & 4 @@ -138,7 +128,7 @@ & \text{Умножаваме втори ред по -5 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\ \end{aligned} \\ - & \left( \begin{array}{rrrrr} + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 4 @@ -146,69 +136,92 @@ \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи по 5, умножаваме трети по 3 и събираме с първи.} \\ & \text{Умножаваме втори по 5, умножаваме трети по 2 и събираме с втори.} - \end{aligned} \\ - & \left( \begin{array}{rrrrr} + \end{aligned} +\end{align*} +\begin{align*} + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Общото решение на на получената система решения е:} \\ + & \text{Общото решение на хомогенната система решения е:} \\ & x_1 = -\frac{7x_5}{5}, \quad x_2 = \frac{5x_3 - 8 x_5}{5}, \quad x_4 = \frac{4x_5}{5} \quad \forall x_3, x_5 \in U \end{aligned} \end{align*} -Избираме фундаментална система решения за $\im (\varphi)$: $b_1 = (-7, -8, 0, 4, 5), \; b_2 = (0, 1, 1, 0, 0)$. -Сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ е пространство от решения на хомогенна система линейни уравнения с матрица на коефициентите, съставена от $a_1, a_2, b_1, b_2$: +Нейна фундаментална система решения е: $(-7, -8, 0, 4, 5), \; (0, 1, 1, 0, 0)$. + +\hfill + +Базис на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ е матрица на хомогенните системи уравнения на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} - -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ - -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -7 & -8 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме втори ред по -1. Умножаваме втори по 2 и събираме с първи.} \\ - & \text{Умножаваме втори по 7 и събираме с трети. Умножаваме четвърти по -2} \\ - & \text{и събираме с първи. Умножаваме четвърти по -1 и събираме с втори.} \\ - & \text{Събираме четвърти с трети.} + & \text{Умножаваме първи по 7 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по} \\ + & \text{8 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по -1 и събираме с пети.} \\ + & \text{Делим новополучилият се четвърти на 19. Умножаваме трети по -1 и} \\ + & \text{събираме с новополучилият се пети. Чрез четвърти зануляваме} \\ + & \text{четвърта колона на другите редове.} \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Общото решение на на получената система е:} \\ + & x_1 = -x_5, \quad x_2 = x_5, \quad x_3 = -x_5, \quad x_4 = -x_5 \quad \forall x_5 \in U \\ + & \text{Следователно, \answerbox{(-1, 1, -1, -1, 1)} е базис на } \ker (\varphi) \cap \im (\varphi) + \end{aligned} +\end{align*} + +Базис на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ е максимална линейно независима подсистема на базисите на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$: +\begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} - 0 & 0 & -4 & -2 & 1 \\ - 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & -6 & -3 & 5 \\ - 0 & 1 & 1 & 0 & 0 + -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ + 5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ + 0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\ + 0 & 0 & 0 & -5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме трети ред по 4. Умножаваме първи по -6 и събираме с трети.} \\ - & \text{Делим трети на 14. Умножаваме втори по 2. Умножаваме първи -1 и} \\ - & \text{събираме с втори. Разменяме първи и втори ред, после трети и четвърти} \\ - & \text{и накрая втори и трети.} + & \text{Умножаваме втори ред по -2 и събираме с първи. Умножаваме втори} \\ + & \text{ред по 5 и събираме с трети. Събираме новополучилият се трети} \\ + & \text{с четвърти. Събираме новополучилият се четвърти с пети. Делим} \\ + & \text{пети на 19 и зануляваме дясната колона на другите редове.} \end{aligned} \\ - & \left( \begin{array}{rrrrr} - 2 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ - 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 0 & 0 & -4 & -2 & 1 \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} + 0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ + -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ + 0 & -5 & 5 & 5 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме четвърти по -1 и събираме с трети. Събираме четвърти с} \\ - & \text{първи. Умножаваме втори по 4 и събираме трети с втори. Делим първи} \\ - & \text{и втори на две. Делим трети на -2.} + & \text{Делим първи ред на 2 и трети на 5. Събираме трети с първи.} \\ + & \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с втори. Делим четвърти на} \\ + & \text{пет и зануляваме четвъртата колона на другите редове. Умножаваме} \\ + & \text{втори и трети ред по -1. Изпускаме първи ред.} \end{aligned} \\ - & \left( \begin{array}{rrrrr} + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ - 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Общото решение на на получената система е:} \\ - & x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{x_4}{2}, \quad x_3 = -\frac{x_4}{2}, \quad x_5 = 0 \quad \forall x_4 \in U \\ - & \text{Следователно, \answerbox{(0, 1, -1, 2, 0)} е базис на } \ker (\varphi) \cap \im (\varphi) + & \text{Получената система е състои от четири ЛНЗ вектора, които са базис} \\ + & \text{на } \ker (\varphi) + \im (\varphi): \answerbox{(1, 0, 0, 0, 0), \; (0, 1, -1, 0, 0), \; (0, 0, 0, 1, 0), \; (0, 0, 0, 0, 1)} \end{aligned} \end{align*} -От теоремата за размерност на сума и сечение, $\dim (\ker (\varphi) + \im (\varphi)) = \dim \ker (\varphi) + \dim \im (\varphi) - \dim (\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)) = 4$. Знаем, че $\ker (\varphi) = l(a_1, a_2)$ и $\im (\varphi) = l(\varphi(e_1), \varphi(e_2), \varphi(e_3))$ - \end{document}
\ No newline at end of file |