Added grade and notes on dis hw2

2 files changed, 17 insertions, 11 deletions

diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
index 9b08c7f..bf90153 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
+++ b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
index c13ea88..e873ede 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
+++ b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
@@ -41,9 +41,12 @@
 
 \maketitle
 
+\noindent
+\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{\; Отличен 5,75/6 \qquad [Коментарите са под определените места]}}
+
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.}}
 
-Дадена е редицата
+Дадена е редицата \hfill \colorbox{Dandelion}{0,6/0,8 т.}
 \begin{align*}
 	a_1 = \lambda, \; a_{n+1} = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6}
 \end{align*}
@@ -154,6 +157,7 @@
 
 \begin{enumerate}[label={\textbf{\arabic*. Случай}},leftmargin=5.8em]
 	\item $\lambda < -3$ \quad В този интервал $a_{n+1} < a_n$, следователно $a_{n+1} < -3$ и редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ не е сходяща.
+	\colorbox{RedOrange}{дивергира към $-\infty$}
 	
 	\item $\lambda = -3$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. Ще докажем по индукция, че $a_n = -3$:
 	\begin{itemize}
@@ -169,27 +173,28 @@
 		\item \emph{Индукционно предположение:} $a_{n-1} \in (-3; -2)$ за някое $n \geq 1$.
 		\item \emph{Индукционна стъпка:} $a_n \xlongequal{def} \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{>} \frac{2(-3)^2 - (-3) + 6}{(-3) - 6} = -3$ \newline
 		$\- \qquad \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{<} \frac{2(-2)^2 - (-2) + 6}{(-2) - 6} = -2$
+		\colorbox{RedOrange}{не е достатъчно само да е ограничена: монотонна е}
 	\end{itemize}
-	То тогава редицата е ограничена отдолу и отгоре. Следователно тя е сходяща.
+	То тогава редицата е ограничена отдолу и отгоре. Следователно тя е сходяща. \colorbox{RedOrange}{към?}
 	
 	\item $\lambda = -2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.	
 	
-	\item $\lambda \in \left(-2, \frac{3}{2}\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_1, a_2 > -2$. Знаем, че $a_{n+1} < \frac{3}{2}$, тоест по индукция намираме, че $a_n \in \left(-2; \frac{3}{2}\right)$. То редицата е огрничена и следователно сходяща.
+	\item $\lambda \in \left(-2, \frac{3}{2}\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_1, a_2 > -2$. Знаем, че $a_{n+1} < \frac{3}{2}$, тоест по индукция намираме, че $a_n \in \left(-2; \frac{3}{2}\right)$. То редицата е огрничена и следователно сходяща. \colorbox{Dandelion}{аналогично на 3.}
 
 	\item $\lambda = \frac{3}{2}$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.
 	
-	\item $\lambda \in \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$ и по индукция $a_n \in (-3; -2)$. Тоест редицата е ограничена и следователно сходяща.
+	\item $\lambda \in \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$ и по индукция $a_n \in (-3; -2)$. Тоест редицата е ограничена и следователно сходяща. \colorbox{Dandelion}{аналогично на 3.}
 	
 	\item $\lambda = 2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща.
 	
-	\item $\lambda \in (2, 6)$ \quad По индукция намираме, че $a_n < -3$. $a_{n+1} < a_n$, следователно редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест не е сходяща.
+	\item $\lambda \in (2, 6)$ \quad По индукция намираме, че $a_n < -3$. $a_{n+1} < a_n$, следователно редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест не е сходяща. \colorbox{RedOrange}{дивергира към $-\infty$}
 	
-	\item $\lambda > 6$ \quad По индукция намираме, че $a_n > 6$. Знаем, че $a_{n+1} > a_n$, следователно редицата е монотонно растяща, но не е ограничена отгоре. Тоест не е сходяща.
+	\item $\lambda > 6$ \quad По индукция намираме, че $a_n > 6$. Знаем, че $a_{n+1} > a_n$, следователно редицата е монотонно растяща, но не е ограничена отгоре. Тоест не е сходяща. \colorbox{RedOrange}{дивергира към $+\infty$}
 \end{enumerate}
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.}}
 
-Да се пресметне границата
+Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8-/0,8 т.}
 \begin{align*}
 	\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1} - \sqrt[3]{4x^2 - 1}}{\sqrt[4]{x^4 + 7} - \sqrt[5]{x^4 - 3}}
 \end{align*}
@@ -197,6 +202,7 @@
 \paragraph{Решение:}
 \begin{align*}
 	\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1} - \sqrt[3]{4x^2 - 1}}{\sqrt[4]{x^4 + 7} - \sqrt[5]{x^4 - 3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\cancel{x} \sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} - \cancel{x} \sqrt[3]{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}}}{\cancel{x} \sqrt[4]{1 + \frac{7}{x^4}} - \cancel{x} \sqrt[5]{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^4}}} = L
+	\quad \colorbox{RedOrange}{под последния корен е $x^5$ вместо $x^4$}
 \end{align*}
 \begin{align*}
 	& \sqrt{2} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \sqrt{2} \;,\; \frac{1}{x^2} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{4}{x} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{1}{x^3} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \\
@@ -206,7 +212,7 @@
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.}}
 
-Да се пресметне границата
+Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8/0,8 т.}
 \begin{align*}
 	\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{5x + 1} - \sqrt[4]{7x + 1}}{\arctg(\ln(x+1))}
 \end{align*}
@@ -225,7 +231,7 @@
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.}}
 
-Да се пресметне $f^{(n)}(x)$, където
+Да се пресметне $f^{(n)}(x)$, където \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8/0,8 т.}
 \begin{align*}
 	f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - 7x}}
 \end{align*}
@@ -258,7 +264,7 @@
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 5.}}
 
-Да се пресметне границата
+Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8-/0,8 т.}
 \begin{align*}
 	\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}}
 \end{align*}
@@ -269,7 +275,7 @@
 	\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2} \cdot \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right)} = e^l
 \end{align*}
 \begin{align*}
-	l & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) \qquad \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 + 1 \right) \sim \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 \quad x \rightarrow 0 \\
+	l & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) \qquad \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 + 1 \right) \sim \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 \quad x \rightarrow 0 \quad \colorbox{RedOrange}{$\frac{\sin x}{\arcsin x} \rightarrow 1$ при $x \rightarrow 1$} \\
 	& \implies l \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left(  \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left(  \frac{\sin x - \arcsin x}{\arcsin x} \right) \qquad \arcsin x \sim x \quad x \rightarrow 0 \\
 	& \implies l \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left(  \frac{\sin x - \arcsin x}{x} \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x - \arcsin x}{x^3} \xlongequal{\text{Лопитал } \left[ \frac{0}{0} \right]} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2} \\
 	& \qquad \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \quad \left( (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right)' = -\frac{1}{2} (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left( (1-x^2) \right)' = x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \\