[S/hw1] Solved homework

6 files changed, 144 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot120.png b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot120.png
new file mode 100644
index 0000000..912a2a7
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot120.png
diff --git a/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot200.png b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot200.png
new file mode 100644
index 0000000..a806df8
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot200.png
diff --git a/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot30.png b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot30.png
new file mode 100644
index 0000000..e2b61ce
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1-ex2-plot30.png
diff --git a/Year 3/Statistics/hw1.pdf b/Year 3/Statistics/hw1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..dd012be
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1.pdf
diff --git a/Year 3/Statistics/hw1.r b/Year 3/Statistics/hw1.r
new file mode 100644
index 0000000..3112182
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1.r
@@ -0,0 +1,38 @@
+ex1 <- function(total = 24, marked = 4, boxes = 4, iterations = 10000) {
+  perbox <- total %/% boxes
+  successes <- 0
+  
+  for (i in 1:iterations) {
+    apples <- sample(append(rep("marked", each=marked), rep("normal", each=total - marked)))
+    
+    current <- 0
+    for (b in 1:boxes) {
+      current <- current + (sum(apples[1:perbox + (b-1)*perbox] == "marked") == 1)
+    }
+    
+    successes <- successes + (current == 4)
+  }
+  
+  return (successes / iterations)
+}
+
+ex1()
+
+ex2 <- function(n, lambda = 1/5, N = 10000, mu = 5, sigma = 5 / sqrt(n)) {
+  xdash <- replicate(N, sum(rexp(n, rate=lambda)) / n)
+
+  fchapeau <- function(t) {
+    return (1 / N * sum(xdash <= t))
+  }
+
+  t <- seq(0, 10, by=0.1)
+  Fpoints <- sapply(t, fchapeau)
+  Npoints <- sapply(t, function(t) { return (dnorm(t, mu, sigma)) })
+  
+  plot(t, Fpoints, type="l", ylim=c(0, 1.1))
+  lines(t, Npoints, lty=2)
+}
+
+ex2(30)
+ex2(120)
+ex2(200)
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 3/Statistics/hw1.tex b/Year 3/Statistics/hw1.tex
new file mode 100644
index 0000000..0f5af15
--- /dev/null
+++ b/Year 3/Statistics/hw1.tex
@@ -0,0 +1,106 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{extarrows}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{graphicx}           % Изображения
+
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage{listings}
+\newfontfamily{\lstsansserif}[Scale=1]{DejaVuSansMono}
+\lstset{ 
+  basicstyle=\lstsansserif\footnotesize,        % the size of the fonts that are used for the code
+  breakatwhitespace=false,         % sets if automatic breaks should only happen at whitespace
+  breaklines=true,                 % sets automatic line breaking
+  frame=single,	                   % adds a frame around the code
+  keepspaces=true,                 % keeps spaces in text, useful for keeping indentation of code (possibly needs columns=flexible)
+  numbers=left,                    % where to put the line-numbers; possible values are (none, left, right)
+  numbersep=10pt,                   % how far the line-numbers are from the code
+  showspaces=false,                % show spaces everywhere adding particular underscores; it overrides 'showstringspaces'
+  showstringspaces=false,          % underline spaces within strings only
+  showtabs=false,                  % show tabs within strings adding particular underscores
+  literate = {-}{-}1{"}{\textquotedbl}1{*}{\normalfont{*}}1,
+}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, },
+		    pdftitle={Решения на задачи от Домашно 1 по ВИС практикум},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Решения на задачи от Домашно 1 по ВИС практикум}
+\author{Камен Димитров Младенов, FN}
+\date{16.04.2024}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{Задача 1.}
+
+Имаме $24$ ябълки, от които $4$ са червиви. Разпределяме ябълките в $4$ кутии, така че да са с равен брой ябълки. С помощта на симулации намерете приближение на вероятността във всяка кутия да има по една червива ябълка.
+
+\subparagraph{Решение} \hfill
+
+\lstinputlisting[language=R, firstline=1, lastline=19, caption=Сорс-код]{hw1.r}
+
+\begin{lstlisting}[language=R, caption=Получен резултат]
+[1] 0.1238
+\end{lstlisting}
+
+Вероятността във всяка кутия да има по една червива ябълка е приблизително 12\%.
+
+\vfill
+
+\paragraph{Задача 2.}
+
+За $\,n=30, 120, 200\,$ генерирайте случайни числа $\,x_1, \ldots, x_n\,$ от експоненциално разпределение с параметър $\,\lambda=1/5\,$ и пресметнете $\,\overline{x} = (x_1 + \ldots + x_n)/n$.
+Повторете $\,N=10000\,$ пъти и ще получите $\,\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_{10000}$. Нека
+
+$$ \widehat{F}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbb{I}(\overline{x}_i \leq t) ,$$
+където $\,\mathbb{I}(a)\,$ е единица, ако $\,a\,$ е вярно и нула, в противен случай.
+
+\begin{itemize}
+\item Направете графика на $\,\widehat{F}(t)$.
+Може да използвате функцията `plot(x, y, type="l")`.
+
+\item На същата картинка добавете графика на функцията на разпределение на $\,\mathcal{N}(\mu=5, \, \sigma=5/\sqrt{n})$. Двете графики трябва да са с различен цвят или едната да е с пунктирана линия.
+
+\item Трябва да получите три картинки -- по една за всяка стойност на $\,n$.
+\end{itemize}
+
+
+\subparagraph{Решение} \hfill
+
+\lstinputlisting[language=R, firstline=21, caption=Сорс-код]{hw1.r}
+
+Получен резултат при $n = 30$: \newline
+\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot30.png}
+
+Получен резултат при $n = 120$: \newline
+\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot120.png}
+
+\newpage
+
+Получен резултат при $n = 200$: \newline
+\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot200.png}
+
+
+\end{document}
\ No newline at end of file