[OTO] Started work on ex 5 and solved ex 6

2 files changed, 86 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf b/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
index ac49b05..7a951e6 100644
--- a/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
+++ b/Year 3/General theory of relativity/Project.pdf
diff --git a/Year 3/General theory of relativity/Project.tex b/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
index 31f9d5b..5e57428 100644
--- a/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
+++ b/Year 3/General theory of relativity/Project.tex
@@ -232,4 +232,90 @@ $00800028 \; mod \; 3 = 0$, тоест ще докажем, че ковариа�
 
 Следователно ${R^i}_{abc} + {R^i}_{bca} + {R^i}_{cab} = 0$
 
+\paragraph{5. Решение}
+
+Правим смяна на координатна система от $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ на $(x^0, R, \varphi, \theta)$, такава че:
+
+\begin{align*}
+	x^1 = R \cos \theta \cos \varphi \quad
+	x^2 = R \cos \theta \sin \varphi \quad
+	x^3 = R \sin \theta
+\end{align*}
+
+\paragraph{6. Решение}
+
+$0\text{MI}080002\mathbf{\underline{8}}$, следователно ще разгледаме отместването на перихелия на Нептун.
+
+Ще използваме, че:
+\begin{itemize}
+	\item гравитационния радиус на слънцето е $\alpha_\text{Слънце} = 2.953$ km
+	\item средния радиус на Нептун е $r_\text{средно,Нептун} = 4.5 \cdot 10^9$ km
+	\item ексцентритетът на Нептун е $e = 0.008678$
+	\item Нептун прави една обиколка (около Слънцето) на всеки $164.8$ години
+\end{itemize}
+
+По формулата на Айнщайн:
+
+\begin{align*}
+	\Delta \varphi & \approx \frac{3 \pi \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{средно,Нептун} (1 - e^2)} \approx \frac{3 \pi \cdot 2.953}{4.5 \cdot 10^9 \cdot (1 - 0.008678^2)} \approx \pi \frac{8859 \cdot 10^{-3}}{4.5 \cdot 10^9 \cdot (1 - 0.000075307684)} \\
+	& \approx \pi \frac{8859}{4.5 \cdot 10^{12} \cdot 0.999924692316} \approx 6.1852145315485203527881859... \cdot 10^{-9} \; \text{ радиани на обиколка} \\
+	& \text{Превръщайки  към дъгови секунди на 100 години}: \\
+	& \approx 0.0000000061852145315485203527881859... \cdot \frac{180}{\pi} 3600 \cdot \frac{100}{164.8} \\
+	& \approx 0.00077414567775884732... \, ''
+\end{align*}
+
+По точната формула:
+
+\begin{align*}
+	\Delta \varphi = T_\text{real} - 2 \pi = \frac{2 \pi}{M \left( \sqrt{1 - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}}, \sqrt{1 - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}} \right)} - 2 \pi
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	& r_\text{min} = (1 - e) r_\text{средно,Нептун} = (1 - 0.008678) \cdot 4.5 \cdot 10^9 = 0.991322 \cdot 4.5 \cdot 10^9 = 4.460949 \cdot 10^9 \\
+	& r_\text{max} = (1 + e) r_\text{средно,Нептун} = (1 + 0.008678) \cdot 4.5 \cdot 10^9 = 1.008678 \cdot 4.5 \cdot 10^9 = 4.539051 \cdot 10^9 \\
+	& \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} = \frac{2.953}{4.460949 \cdot 10^9} = \frac{2953}{4460949 \cdot 10^3}
+	\qquad \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}} = \frac{2.953}{4.539051 \cdot 10^9} = \frac{2953}{4539051 \cdot 10^3} \\
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	\sqrt{1 - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}} & = \sqrt{1 - \frac{2953}{4460949 \cdot 10^3} - 2 \frac{2953}{4539051 \cdot 10^3}} \\
+	& = \sqrt{\frac{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3 - 2953 \cdot 4539051 - 2 \cdot 2953 \cdot 4460949}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \\
+	& = \sqrt{\frac{1}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \sqrt{20248474979648817603}
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	\sqrt{1 - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}} & = \sqrt{1 - 2 \frac{2953}{4460949 \cdot 10^3} - \frac{2953}{4539051 \cdot 10^3}} \\
+	& = \sqrt{\frac{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3 - 2 \cdot 2953 \cdot 4539051 - 2953 \cdot 4460949}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \\
+	& = \sqrt{\frac{1}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \sqrt{20248474979418182397}
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	& M \left( \sqrt{1 - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}}, \sqrt{1 - \frac{2 \alpha_\text{Слънце}}{r_\text{min}} - \frac{\alpha_\text{Слънце}}{r_\text{max}}} \right) \\
+	& = M \left( \sqrt{\frac{1}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \sqrt{20248474979648817603} \; , \right. \\
+	& \qquad\quad \left. \sqrt{\frac{1}{4460949 \cdot 10^3 \cdot 4539051 \cdot 10^3}} \sqrt{20248474979418182397} \right) \\
+	& = \sqrt{\frac{1}{4460949 \cdot 4539051 \cdot 10^{6}}} M \left( \sqrt{20248474979648817603}, \sqrt{20248474979418182397} \right) \\
+	& = 2.2223059021530026666489... \cdot 10^{-10} \cdot    
+	    4.4998305500911364873496... \cdot 10^9 \\
+	& = 0.999999999015592532735669488682770254067475544... = M_\text{стойност}
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	\frac{2 \pi}{M_\text{стойност}} = 6.28318531336480101760716936984332803180490350...
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+	\Delta \varphi & = 6.28318531336480101760716936984332803180490350... - 2 \pi \\
+	& = 6.1852145406818826032843222... \cdot 10^{-9} \; \text{ радиани на обиколка} \\
+	& \text{Превръщайки  към дъгови секунди на 100 години}: \\
+	& = 0.0000000061852145406818826032843222... \cdot \frac{180}{\pi} 3600 \cdot \frac{100}{164.8} \\
+	& = 0.00077414567890198518... \, ''
+\end{align*}
+
+Приближението на Айнщайн е достатъчно точно за 11 цифри след запетаята (различаващите цифри са удебелени и подчертани):
+
+\begin{align*}
+	\text{По Айнщайн: } & \Delta \varphi \approx 0.00077414567\mathbf{\underline{775884732}}... \, '' \\
+	\text{По точната: } & \Delta \varphi =       0.00077414567\mathbf{\underline{890198518}}... \, ''
+\end{align*}
+
 \end{document}
\ No newline at end of file