[A2/H3/E2] Solved

2 files changed, 84 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf b/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4caa673
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.tex b/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..8d77505
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework3/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по А2, Зад 2},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №3, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{31 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Решение}
+
+$\gcd (1, -1, -2, 1, -7, 10) = \pm 1 \implies f(x)$ е примитивен, то тогава той е разложим над $\mathbb{Q} \iff$ е разложим над $\mathbb{Z}$. Ще разгледаме съществено разлагане $f(x) = f_1(x) f_2(x) \quad f_1, f_2 \in \mathbb{Z}[x]$:
+\begin{align*}
+	& 5 = \deg (f) = \deg (f_1) + \deg (f_2), \quad 0 < \deg (f_1), \quad \deg (f_2) < \deg (f) \quad \text{Б.О.О. } \deg (f_1) \leq \deg(f_2) \\
+	& \text{Тогава } \deg (f_1) = 1, \deg (f_2) = 4 \text{ или } \deg (f_1) = 2, \deg (f_2) = 3 \text{. Ще разгледаме първата възможност.} \\
+	& f_1(x) = x - r_1, \; r_1 \in \mathbb{Z} \quad r_1 \text{ е делител на свободния член } \implies r_1 \in \{ -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10 \} \\
+	& \text{Избираме } r_1 = 2 \text{ и проверяваме по правилото на Хорнер}: \quad
+	\begin{array}{r|rrrrrr}
+		& 1 & -1 & -2 & 1 & -7 & 10 \\
+		\hline
+		2 & 1 & 1 & 0 & 1 & -5 & 0 \\
+	\end{array} \\
+	& \text{Следователно } f(x) = (x-2)(x^4 + x^3 + x - 5) \text{. Задачата се свежда до разлагане на полинома} \\
+	& f_2(x) = x^4 + x^3 + x - 5 \in \mathbb{Z}[x]
+\end{align*}
+
+$\gcd(1, -5) = \pm 1 \implies f_2(x)$ е примитивен и той е разложим над $\mathbb{Q} \iff$ е разложим над $\mathbb{Z}$. Ще разгледаме съществено разлагане $f_2(x) = f_3(x)f_4(x) \quad f_3, f_4 \in \mathbb{Z}[x]$
+\begin{align*}	
+	& 4 = \deg(f_2) = \deg (f_3) + \deg(f_4) \quad 0 \leq \deg(f_3), \deg(f_4) < \deg(f_2) \quad \text{Б.О.О. } \deg(f_3) \leq \deg(f_4) \\
+	& \text{Тогава } \deg(f_3) = 1, \deg(f_4) = 3 \text{ или } \deg(f_3) = \deg(f_4) = 2 \text{. Ще разгледаме първата възможност.} \\
+	& f_3(x) = x - r_2, \; r_2 \in \mathbb{Z} \quad r_2 \text{ е делител на свободния член } \implies r_2 \in \{ -5, -1, 1, 5 \} \\
+	& \text{Пресмятаме по правилото на Хорнер: } \begin{array}{r|rrrrr}
+		   & 1 & 1 & 0 & 1 & -5 \\
+		\hline
+		-5 & 1 & -4 & 20 & -99 & 490 \\
+		-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -6 \\
+		 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & -2 \\
+		 5 & 1 & 6 & 30 & 151 & 750 \\
+	\end{array} \\
+	& \text{Следователно } f_2(x) \text{ няма рационални корени и е неразложим над } \mathbb{Q}.
+\end{align*}
+
+Тоест, $f(x) = (x-2)(x^4 + x^3 + x - 5)$ e разлагането на $f(x)$ в произведение на неразложими множители над $\mathbb{Q}$.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file