diff options
Fixed exercise 3.b) and 4.b)
1 files changed, 6 insertions, 3 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Discrete math/Homework1.tex | 9 |
diff --git a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex b/Year 1/Discrete math/Homework1.tex index 06bc7dd..914931e 100644 --- a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex +++ b/Year 1/Discrete math/Homework1.tex @@ -95,8 +95,8 @@ III. Разглеждаме за транзитивност \begin{align*} (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{align*} -Следователно, всеки клас на еквивалентност е от вида $\left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\}$ за $r \in \mathbb{Q} ^ {>0}$. То тогава, индекса на еквивалентност е безкрайност ($[R] = \infty$). \newline -Множеството от всички класове на еквивалентност е \colorbox{yellow}{неизброимо безкрайно}, понеже всеки клас на еквивалентност е безкрайно голям, а множество от безкрайности не е изборимо $\left( \left\{ \left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\} \mid r \in \mathbb{Q} ^ {>0} \right\} \subset 2 ^ {\mathbb{N} ^ {>0} \times \mathbb{N} ^ {>0}} \right)$. +Следователно, всеки клас на еквивалентност е от вида $\left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\}$ за $r \in \mathbb{Q} ^ {>0}$. \newline +Множеството от всички класове на еквивалентност е \colorbox{yellow}{изброимо безкрайно}. Всеки клас на еквивалентност е изброим $\left( \left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\} \subset \mathbb{N} ^ 2 \right)$ и можем да го изброим чрез всички на кратни на прости числа (които вече не са използвани). Тоест, за първия клас на еквивалентност можем да използваме всяко второ число, за втория клас - всяко трето число (като пропускаме тези, които са кратни и на 2) и така нататък. \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.} Решение:} \hfill\newline @@ -112,6 +112,9 @@ III. Разглеждаме за транзитивност Имайки предвид индуктивната дефиниция, следва че имаме $f^n(y) = x$ за някакво $n > 1$. Обаче, по дефиниция, обратната фунцкяи $f^{-1}(y) = x$. \newline Тоест, \colorbox{yellow}{$f^n(y) = f^{-1}(y)$ за някакво $n > 1$}. \newline \noindent -б) Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} (примерно $g(x) = 2x$ или $g(x) = 2 ^ x$), то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува. +б) Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} $\left( \text{примерно } g(x) = \left\{\begin{array}{cc} + x + 1 & x \geq 1 \\ + x & x < 1 +\end{array}\right. \right)$ то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува. \end{document}
\ No newline at end of file |