diff options
Wording adjustments
1 files changed, 12 insertions, 9 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Discrete math/notes.tex | 21 |
diff --git a/Year 1/Discrete math/notes.tex b/Year 1/Discrete math/notes.tex index fd18070..6ce390b 100644 --- a/Year 1/Discrete math/notes.tex +++ b/Year 1/Discrete math/notes.tex @@ -68,16 +68,16 @@ \begin{enumerate} \item \emph{Аксиома за обема} \newline Две множества са равни тстк съдържат едни и същи елементи (редът е без значение) - \item \emph{Аксиома за отделянето} \newline Ако $X$ е множество и $\pi$ е предикат с домейн $X$, то съвкупността $Y$ от елементите на $X$, които имат свойството $\pi$, е множество. \newline \newline $B = \left\{a \in A \;|\; \pi(a) \right\}$ Казваме, че B е подмножество на A + \item \emph{Аксиома за отделянето} \newline Ако $X$ е множество и $\pi$ е предикат с домейн $X$, то съвкупността $Y$ от елементите на $X$, които имат свойството $\pi$, е множество. \newline \newline $B = \left\{a \in A \mid \pi(a) \right\}$ \quad Казваме, че B е подмножество на A - \item \emph{Аксиома за степенното множество} \newline За всяко множество $X$ съществува множеството от всички негови подмножества, което наричаме степенното множество на $X$ + \item \emph{Аксиома за степенното множество} \newline За всяко множество $X$ съществува множество $2^X$ от всички негови подмножества, което наричаме степенното множество на $X$ \item \emph{Максимално по включване множество} \newline Множество, за което свойството (предикатът) е в сила, но то не е в сила за никое същинско негово надмножество. \begin{enumerate} \item $\sigma (B)$ и \item $\forall C\left( B \subset C \subseteq A \rightarrow \neg \sigma (C) \right)$ \end{enumerate} - \emph{Минимално по включване множество} \newline Такова подмножество, за което свойството (предикатът) е в сила, но то не е в сила за никое същинско негово подмножество. + \emph{Минимално по включване множество} \newline Такова подмножество, за което свойството (предикатът) е в сила, но не е в сила за никое същинско негово подмножество. \begin{enumerate} \item $\sigma (B)$ и \item $\forall C\left( C \subset B \rightarrow \neg \sigma (C) \right)$ @@ -190,7 +190,7 @@ \subsection{Свойства} \begin{enumerate} - \item \emph{Инекция}: Всеки елемент на $Y$ е образ най-много на един елемент на $X$ \newline (може не всички елемeнти от $Y$ да са "покрити") \newline + \item \emph{Инекция}: Всеки елемент на $Y$ е образ най-много на един елемент на $X$ \newline $\forall x_1, x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ \item \emph{Сюрекция}: Всеки елемент на $Y$ е образ на поне един елемент на $X$ \newline $\forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y$ @@ -208,7 +208,7 @@ За крайни $X$ и $Y$, $|X| > |Y|$, то не съществува инекция $f : X \rightarrow Y$ -Ако има $m$ обекта в $n$ чекмеджета и $m > n$, то в поне едно чекмедже има повече от един обект. +Ако имаме $m$ обекта в $n$ чекмеджета, то има поне едно чекмедже с $\left\lceil \frac{m}{n} \right\rceil$ обекта. \section{\underline{Изброителна комбинаторика}} @@ -335,20 +335,23 @@ \subsection{Решаване на нехомогенно рекурентно уравнение с константни коефициенти и крайна история} -Говорим за уравнения от типа $a_n = c_1 a_{n-1} + ... + c_k a_{n-k} \quad+\quad p_1(n) \cdot b_1^n + ... + p_l(n) \cdot b_l^n$, \newline където $b_1, ..., b_l$ са различни стойности, а $p_1(n), ..., p_l(n)$ са полиноми на $n$. +Нека $b_1, ..., b_l$ са различни стойности, а $p_1(n), ..., p_l(n)$ са полиноми на $n$. Уравненията са от типа +\begin{equation*} + a_n = \underbrace{c_1 a_{n-1} + ... + c_k a_{n-k}}_{\text{xомогенна част}} + \underbrace{p_1(n) \cdot b_1^n + ... + p_l(n) \cdot b_l^n}_{\text{нехомогенна част}} +\end{equation*} \begin{enumerate} \item \emph{Характеристично уравнение} \newline - Съставя се по същия начин, като просто си представим, че нехомогенната част (тази с $p_l(n)$-вете) не съществува. + Съставя се като при \textbf{7.1}, като просто си представим, че нехомогенната част (тази с $p_l(n)$-вете) не съществува. \item \emph{Общо решение} \newline След като намерим мултимножеството от корени на хомогенната част, разглеждаме нехомогенната. \newline Абстрахираме се от всякакви коефициенти и разглеждаме хомогенната част като сборове от комбинации на $n^g \cdot h^n$. \newline Образуваме мултимножеството от корени на нехомогенната част, като добавяме съответните $h$ $g+1$ пъти. \newline - Накрая обединяваме двете мултимножества и съставяме уравнението. + Накрая обединяваме двете мултимножества и продължаваме както при \textbf{7.1}. \item \emph{Точно решение} \newline - Продължаваме по същия начин. + Следваме същите стъпки като \textbf{7.1} \end{enumerate} \end{document} |