cm: Completed exervise 2 and added bibliography

3 files changed, 411 insertions, 3 deletions

diff --git a/Year 4/Celestial mechanics/Exercise2.R b/Year 4/Celestial mechanics/Exercise2.R
new file mode 100644
index 0000000..5e98ada
--- /dev/null
+++ b/Year 4/Celestial mechanics/Exercise2.R
@@ -0,0 +1,115 @@
+# Изменя величината спрямо подадено изменение и дата във векове от началото на епохата
+atDay <- function(epochConstant, rate, t) {
+  epochConstant + t * rate
+}
+
+# Принтира аргументът, така че всички цифри да имат 8 знака прецизност
+p <- function(x) {
+  formatC(x, format="f", digits = 8)
+}
+
+# Аргумент на перихелия
+g <- function(omega, theta) {
+  omega - theta
+}
+
+# Средна аномалия
+l <- function(lambda, omega) {
+  lambda - omega
+}
+
+gamma <- function(mu) { 1 + mu }
+m <- function(mu) { mu / (1 + mu) }
+L <- function(m, gamma, a) { m * sqrt(gamma) * sqrt(a) }
+G <- function(L, e) { L * sqrt(1 - e^2) }
+Theta <- function(G, i) { G * cos(i) }
+
+# Елементи на Делоне по подадени константи
+delaunay <- function(t, mu, a2000, da, e2000, de, i2000, di, lambda2000, dlambda, omega2000, domega, theta2000, dtheta) {
+  a <- atDay(a2000, da, t)
+  e <- atDay(e2000, de, t)
+  i <- atDay(i2000, di, t)
+  lambda <- atDay(lambda2000, dlambda, t)
+  omega <- atDay(omega2000, domega, t)
+  theta <- atDay(theta2000, dtheta, t)
+
+  m <- m(mu)
+  gamma <- gamma(mu)
+
+  L <- L(m, gamma, a)
+  G <- G(L, e)
+  Theta <- Theta(G, i)
+  l <- l(lambda, omega)
+  g <- g(omega, theta)
+
+  c(L, G, Theta, l, g, theta)
+}
+
+# Елементи на Делоне в моета дата на раждане
+delaunayAtBirth <- function() {
+  birthDate <- 0.02320328
+  rbind(
+    delaunay(birthDate, 0.00000016,    # Меркурии
+               0.38709927,    0.00000037, 0.20563593, 0.00001906, 0.12225995, -0.00010380,
+               4.40259868, 2608.79030501, 1.35189358, 0.00280085, 0.84353100, -0.00218761),
+    delaunay(birthDate, 0.00000244,    # Венера
+               0.72333566,    0.00000390, 0.00677672, -0.00004107, 0.05924827, -0.00001377,
+               3.17613446, 1021.32854958, 2.29689636,  0.00004683, 1.33831572, -0.00484668),
+    delaunay(birthDate, 0.00000304,    # EM Bary
+               1.00000261,   0.00000562, 0.01671123, -0.00004392, -0.00000027, -0.00022596,
+               1.75343756, 628.30757790, 1.79660147,  0.00564219,  0.0,         0.0),
+    delaunay(birthDate, 0.00000032,    # Марс
+               1.52371034,   0.00001847,  0.09339410, 0.00007882, 0.03228321, -0.00014192,
+               -0.07947238, 334.06130168, -0.41789517, 0.00775643, 0.86497713, -0.00510637),
+    delaunay(birthDate, 0.00095479,    # Юпитер
+               5.20288700, -0.00011607, 0.04838624, -0.00013253, 0.02276602, -0.00003206,
+               0.60033114, 52.96631189, 0.25706047,  0.00370929, 1.75360053,  0.00357253),
+    delaunay(birthDate, 0.00028588,    # Сатурн
+               9.53667594, -0.00125060, 0.05386179, -0.00050991, 0.04338874,  0.00003379,
+               0.87186604, 21.33653879, 1.61615531, -0.00731244, 1.98378354, -0.00503838),
+    delaunay(birthDate, 0.00004366,    # Уран
+               19.18916464, -0.00196176, 0.04725744, -0.00004397, 0.01348507, -0.00004240,
+               5.46703627,  7.47842217, 2.98371499,  0.00712187, 1.29183904,  0.00074012),
+    delaunay(birthDate, 0.00005151,    # Нептун
+               30.06992276, 0.00026291, 0.00859048,  0.00005105, 0.03089309,  0.00000617,
+               -0.96202600, 3.81283674, 0.78478315, -0.00562720, 2.30006864, -0.00008878)
+  )
+}
+
+# Елементи на Поанкаре от първи род в моета дата на раждане
+poincare1 <- function() {
+  data <- delaunayAtBirth()
+  result <- c()
+  for (planet in 1:8) {
+    L <- data[planet,1]; G <- data[planet,2]; Theta <- data[planet,3]
+    l <- data[planet,4]; g <- data[planet,5]; theta <- data[planet,6]
+    result <- rbind(
+      result,
+      c(L, L - G, G - Theta, l + g + theta, - g - theta, - theta)
+    )
+  }
+  result
+}
+
+# Елементи на Поанкаре от втори род в моета дата на раждане
+poincare2 <- function() {
+  data <- delaunayAtBirth()
+  result <- c()
+
+  for (planet in 1:8) {
+    L <- data[planet,1]; G <- data[planet,2]; Theta <- data[planet,3]
+    l <- data[planet,4]; g <- data[planet,5]; theta <- data[planet,6]
+
+    result <- rbind(
+      result,
+      c(L,              sqrt(2*(L-G)) * cos(g + theta), sqrt(2*(G-Theta)) * cos(theta),
+        l + g + theta, -sqrt(2*(L-G)) * sin(g + theta), sqrt(2*(G-Theta)) * sin(theta))
+    )
+  }
+
+  result
+}
+
+p(delaunayAtBirth())
+p(poincare1())
+p(poincare2())
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 4/Celestial mechanics/Project.pdf b/Year 4/Celestial mechanics/Project.pdf
index 76cd281..e8bc1f6 100644
--- a/Year 4/Celestial mechanics/Project.pdf
+++ b/Year 4/Celestial mechanics/Project.pdf
diff --git a/Year 4/Celestial mechanics/Project.tex b/Year 4/Celestial mechanics/Project.tex
index 5800627..8d86135 100644
--- a/Year 4/Celestial mechanics/Project.tex
+++ b/Year 4/Celestial mechanics/Project.tex
@@ -63,7 +63,7 @@
 \centerline{\textit{Всички изчисления ще са с точност до 8 знака след десетичния знак.}}
 
 Като подготвителна стъпка ще преобразуваме нужните данни в по-удобна форма.
-Уебсайтът на NASA (\url{https://ssd.jpl.nasa.gov/planets/approx_pos.html}) предоставя следните константи:
+Уебсайтът на NASA \cite{nasa} предоставя следните константи:
 
 \begin{table}[!h]
 \begin{center}
@@ -141,9 +141,9 @@ Neptune & 30.06992276   &   0.00859048   & 0.03089309  & -0.96202600   & 0.78478
 Тоест, обозначаваме $a = a_{2000} + t \cdot \Delta a$, $e = e_{2000} + t \cdot \Delta e$, ...
 
 Финално, ще изчислим рожденната ми дата във векове.
-Аз съм роден на 27 Април 2002 година.
+Аз съм виден на 27 Април 2002 година.
 Това е 117-ят ден в годината, което е $\frac{117}{365.25} = 0.32032854$ Юлиански години.
-Тоест, роден съм $2.32032854$ Юлиански години след началото на епохата (1 Януари 2000, 00:00 часа), което са $\frac{2.32032854}{100} = 0.02320328$ века.
+Тоест, виден съм $2.32032854$ Юлиански години след началото на епохата (1 Януари 2000, 00:00 часа), което са $\frac{2.32032854}{100} = 0.02320328$ века.
 
 \paragraph{1. Решение}
 
@@ -422,4 +422,297 @@ Neptune & 18.92712374 & -23.39768921 & 0.04565204  & 30.09468321 & 0.14091098  &
 
 \paragraph{2. Решение}
 
+Ще напишем програма на езика \texttt{R}, която намира елементите на Делоне и Поанкаре (от първи и втори вид) в деня на моето раждане.
+За целта се нуждаем и от масите на всички планети.
+
+В допълнението към астрономическия алманах, глава 8, страници 19-20 \cite{mass}, намираме:
+
+\begin{table}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c} 
+GMs/GM1 & 6023600.0   & $mass^{−1}$ for Mercury \\
+GMs/GM2 & 408523.71   & $mass^{−1}$ for Venus \\
+GMs/GMB & 328900.5614 & $mass^{−1}$ for EM-Bary \\
+GMs/GM4 & 3098708.0   & $mass^{−1}$ for Mars \\
+GMs/GM5 & 1047.3486   & $mass^{−1}$ for Jupiter \\
+GMs/GM6 & 3497.898    & $mass^{−1}$ for Saturn \\
+GMs/GM7 & 22902.98    & $mass^{−1}$ for Uranus \\
+GMs/GM8 & 19412.24    & $mass^{−1}$ for Neptune \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
+
+Ще се нуждаем от $\mu = \frac{m_\mathrm{планета}}{m_\mathrm{слънце}}$.
+Преобразуваме таблицата по формулата $\mu = \frac{1}{\mathrm{GMs/GMX}}$:
+
+\begin{table}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c||c}
+& $\mu$ \\
+\hline\hline
+Mercury & 0.00000016 \\
+Venus   & 0.00000244 \\
+EM Bary & 0.00000304 \\
+Mars    & 0.00000032 \\
+Jupiter & 0.00095479 \\
+Saturn  & 0.00028588 \\
+Uranus  & 0.00004366 \\
+Neptune & 0.00005151 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
+
+
+Единственият вход на програмата ще бъдат данни от таблиците и рожденната ми дата (в Юлиански векове от началото на епохата).
+
+\hfill
+
+Първо ще разгледаме елементите на Делоне.
+Искаме да обновим величините от началото на епохата и да изкарваме на екрана стойности с 8 цифри прецизност.
+Копираме функциите \texttt{atDay} и \texttt{p} от 1 задача:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+atDay <- function(epochConstant, rate, t) { epochConstant + t * rate }
+p <- function(x) { formatC(x, format="f", digits = 8) }
+\end{lstlisting}
+
+Величината $\theta$ вземаме от таблицата.
+За $l$ и $g$ копираме функциите \texttt{l} и \texttt{g} от задача 1:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+l <- function(lambda, omega) { lambda - omega }
+g <- function(omega, theta) { omega - theta }
+\end{lstlisting}
+
+За величините $L$, $G$ и $\Theta$ знаем следните формули по теорема:
+\begin{align*}
+	L = m \sqrt{\gamma}\sqrt{a}
+	\qquad
+	G = L \sqrt{1 - e^2}
+	\qquad
+	\Theta = G \cos i
+\end{align*}
+
+Където $a$, $e$ и $i$ са дадени в таблицата.
+За останалите величини ($m$ и $\gamma$) имаме формулите:
+\begin{align*}
+	\gamma = 1 + \mu
+	\qquad
+	m = \frac{\mu}{\gamma} = \frac{\mu}{1 + \mu}
+\end{align*}
+
+Имплементираме функции по формулите за всяка велична:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+gamma <- function(mu) { 1 + mu }
+m <- function(mu) { mu / (1 + mu) }
+L <- function(m, gamma, a) {
+  m * sqrt(gamma) * sqrt(a)
+}
+G <- function(L, e) {
+  L * sqrt(1 - e^2)
+}
+Theta <- function(G, i) { G * cos(i) }
+\end{lstlisting}
+
+\newpage
+
+\hfill
+
+\hfill
+
+\hfill
+
+Обединявайки всичко, получаваме следната функция за намиране на елементите на Делоне:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+delaunay <- function(t, mu, a2000, da, e2000, de, i2000, di, lambda2000, dlambda, omega2000, domega, theta2000, dtheta) {
+  a <- atDay(a2000, da, t)
+  e <- atDay(e2000, de, t)
+  i <- atDay(i2000, di, t)
+  lambda <- atDay(lambda2000, dlambda, t)
+  omega <- atDay(omega2000, domega, t)
+  theta <- atDay(theta2000, dtheta, t)
+
+  m <- m(mu)
+  gamma <- gamma(mu)
+
+  L <- L(m, gamma, a)
+  G <- G(L, e)
+  Theta <- Theta(G, i)
+  l <- l(lambda, omega)
+  g <- g(omega, theta)
+  
+  c(L, G, Theta, l, g, theta)
+}
+\end{lstlisting}
+
+Дефинираме функцията \texttt{delaunayAtBirth}, която връща всички елементи на Делоне за всички планети с подадени константи:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+delaunayAtBirth <- function() {
+  birthDate <- 0.02320328
+  rbind(
+    delaunay(birthDate, 0.00000016,    # Меркурии
+               0.38709927,    0.00000037, 0.20563593, 0.00001906, 0.12225995, -0.00010380,
+               4.40259868, 2608.79030501, 1.35189358, 0.00280085, 0.84353100, -0.00218761),
+    delaunay(birthDate, 0.00000244,    # Венера
+               0.72333566,    0.00000390, 0.00677672, -0.00004107, 0.05924827, -0.00001377,
+               3.17613446, 1021.32854958, 2.29689636,  0.00004683, 1.33831572, -0.00484668),
+    delaunay(birthDate, 0.00000304,    # EM Bary
+               1.00000261,   0.00000562, 0.01671123, -0.00004392, -0.00000027, -0.00022596,
+               1.75343756, 628.30757790, 1.79660147,  0.00564219,  0.0,         0.0),
+    delaunay(birthDate, 0.00000032,    # Марс
+                1.52371034,   0.00001847,  0.09339410, 0.00007882, 0.03228321, -0.00014192,
+               -0.07947238, 334.06130168, -0.41789517, 0.00775643, 0.86497713, -0.00510637),
+    delaunay(birthDate, 0.00095479,    # Юпитер
+               5.20288700, -0.00011607, 0.04838624, -0.00013253, 0.02276602, -0.00003206,
+               0.60033114, 52.96631189, 0.25706047,  0.00370929, 1.75360053,  0.00357253),
+    delaunay(birthDate, 0.00028588,    # Сатурн
+               9.53667594, -0.00125060, 0.05386179, -0.00050991, 0.04338874,  0.00003379,
+               0.87186604, 21.33653879, 1.61615531, -0.00731244, 1.98378354, -0.00503838),
+    delaunay(birthDate, 0.00004366,    # Уран
+               19.18916464, -0.00196176, 0.04725744, -0.00004397, 0.01348507, -0.00004240,
+                5.46703627,  7.47842217, 2.98371499,  0.00712187, 1.29183904,  0.00074012),
+    delaunay(birthDate, 0.00005151,    # Нептун
+               30.06992276, 0.00026291, 0.00859048,  0.00005105, 0.03089309,  0.00000617,
+               -0.96202600, 3.81283674, 0.78478315, -0.00562720, 2.30006864, -0.00008878)
+  )
+}
+\end{lstlisting}
+
+\newpage
+
+\hfill
+
+\hfill
+
+\hfill
+
+Елементите на Поанкаре от първи вид са следната редица стойности по дефиниция:
+\begin{align*}
+	L, \quad L - G, \quad G - \Theta, \quad l + g + \theta, \quad - g - \theta, \quad - \theta
+\end{align*}
+
+Изполвайки вече дефинираната \texttt{delaunayAtBirth}, можем итеративно да конвертираме всеки ред с елементи на Делоне към елементите на Поанкаре:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+poincare1 <- function() {
+  data <- delaunayAtBirth()
+  result <- c()
+  
+  for (planet in 1:8) {
+    L <- data[planet,1]; G <- data[planet,2]; Theta <- data[planet,3]
+    l <- data[planet,4]; g <- data[planet,5]; theta <- data[planet,6]
+    
+    result <- rbind(
+      result,
+      c(L, L - G, G - Theta, l + g + theta, - g - theta, - theta)
+    )
+  }
+  
+  result
+}
+\end{lstlisting}
+
+Елементите на Поанкаре от втори вид са следната редица стойности по дефиниция:
+\begin{align*}
+	\begin{matrix}
+		L, & \xi = \sqrt{2(L - G)} \cos(g + \theta), & p = \sqrt{2(G - \Theta)} \cos(\theta), \\
+		l + g + \theta, & \eta = - \sqrt{2(L - G)} \sin(g + \theta), & q = \sqrt{2(G - \Theta)} \sin(\theta)
+	\end{matrix}
+\end{align*}
+
+Напълно аналогично на \texttt{poincare1}, дефинираме \texttt{poincare2}:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+poincare2 <- function() {
+  data <- delaunayAtBirth()
+  result <- c()
+  
+  for (planet in 1:8) {
+    L <- data[planet,1]; G <- data[planet,2]; Theta <- data[planet,3]
+    l <- data[planet,4]; g <- data[planet,5]; theta <- data[planet,6]
+    
+    result <- rbind(
+      result,
+      c(L,              sqrt(2*(L-G)) * cos(g + theta), sqrt(2*(G-Theta)) * cos(theta),
+        l + g + theta, -sqrt(2*(L-G)) * sin(g + theta), sqrt(2*(G-Theta)) * sin(theta))
+    )
+  }
+  
+  result
+}
+\end{lstlisting}
+
+Извикваме всяка от тези функции:
+
+\begin{lstlisting}[language=R]
+p(delaunayAtBirth())
+p(poincare1())
+p(poincare2())
+\end{lstlisting}
+
+И получаваме следните резултати:
+
+\break
+
+\begin{table}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+Делоне & $L$ & $G$ & $\Theta$ & $l$ & $g$ & $\theta$ \\
+\hline\hline
+Mercury & 0.00000010 & 0.00000010 & 0.00000010 & 63.58313202 & 0.50847833 & 0.84348024 \\
+Venus   & 0.00000208 & 0.00000208 & 0.00000207 & 24.57740932 & 0.95869419 & 1.33820326 \\
+EM Bary & 0.00000304 & 0.00000304 & 0.00000304 & 14.53550183 & 1.79673239 & 0.00000000 \\
+Mars    & 0.00000040 & 0.00000039 & 0.00000039 & 8.08956074 & -1.28257384 & 0.86485865 \\
+Jupiter & 0.00217682 & 0.00217427 & 0.00217371 & 1.57217677 & -1.49653689 & 1.75368342 \\
+Saturn  & 0.00088271 & 0.00088143 & 0.00088060 & -0.24904191 & -0.36768100 & 1.98366663 \\
+Uranus  & 0.00019125 & 0.00019104 & 0.00019102 & 2.65667995 & 1.69202403 & 1.29185621 \\
+Neptune & 0.00028245 & 0.00028244 & 0.00028231 & -1.65820826 & -1.51541400 & 2.30006658 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+Поанкаре 1 вид & $L$ & $L - G$ & $G - \Theta$ & $l + g + \theta$ & $-g - \theta$ & $-\theta$ \\
+\hline\hline
+Mercury & 0.00000010 & 0.00000000 & 0.00000000 & 64.93509059 & -1.35195857 & -0.84348024 \\
+Venus   & 0.00000208 & 0.00000000 & 0.00000000 & 26.87430677 & -2.29689745 & -1.33820326 \\
+EM Bary & 0.00000304 & 0.00000000 & 0.00000000 & 16.33223422 & -1.79673239 & -0.00000000 \\
+Mars    & 0.00000040 & 0.00000000 & 0.00000000 & 7.67184554 & 0.41771520 & -0.86485865 \\
+Jupiter & 0.00217682 & 0.00000255 & 0.00000056 & 1.82932331 & -0.25714654 & -1.75368342 \\
+Saturn  & 0.00088271 & 0.00000128 & 0.00000083 & 1.36694372 & -1.61598564 & -1.98366663 \\
+Uranus  & 0.00019125 & 0.00000021 & 0.00000002 & 5.64056019 & -2.98388024 & -1.29185621 \\
+Neptune & 0.00028245 & 0.00000001 & 0.00000013 & -0.87355568 & -0.78465258 & -2.30006658 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
+
+\begin{table}[!h]
+\begin{center}
+\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+Поанкаре 2 вид & $L$ & $\xi$ & $p$ & $l + g + \theta$ & $\eta$ & $q$ \\
+\hline\hline
+Mercury & 0.00000010 & 0.00001416 & 0.00002536 & 64.93509059 & -0.00006367 & 0.00002849 \\
+Venus   & 0.00000208 & -0.00000648 & 0.00001967 & 26.87430677 & -0.00000730 & 0.00008304 \\
+EM Bary & 0.00000304 & -0.00000653 & 0.00000001 & 16.33223422 & -0.00002840 & 0.00000000 \\
+Mars    & 0.00000040 & 0.00005371 & 0.00001313 & 7.67184554 & 0.00002384 & 0.00001540 \\
+Jupiter & 0.00217682 & 0.00218380 & -0.00019305 & 1.82932331 & -0.00057427 & 0.00104380 \\
+Saturn  & 0.00088271 & -0.00007230 & -0.00051683 & 1.36694372 & -0.00159886 & 0.00117985 \\
+Uranus  & 0.00019125 & -0.00064559 & 0.00005131 & 5.64056019 & -0.00010267 & 0.00017917 \\
+Neptune & 0.00028245 & 0.00010218 & -0.00034594 & -0.87355568 & -0.00010203 & 0.00038713 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{table}
+
+\vfill
+
+\begin{thebibliography}{9}
+\bibitem{nasa} Solar System Dynamics. (2025, Май 1). \textit{Approximate Positions of the Planets.} Jet Propultion Laboratory, National Aeronautics and Space Administration. \url{https://ssd.jpl.nasa.gov/planets/approx_pos.html}
+\bibitem{mass} Williams, James G., \& Standish, Myles E. (2006). Orbital Ephemerides of the Sun, Moon, and Planets. In Seidelmann, P. K. (Eds.), \textit{Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac}. \url{https://www.researchgate.net/publication/232203657_Orbital_Ephemerides_of_the_Sun_Moon_and_Planets}
+\end{thebibliography}
+
 \end{document}
\ No newline at end of file