Updated calculus notes information and added a footnote for me

2 files changed, 53 insertions, 57 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/notes.pdf b/Year 1/Calculus/notes.pdf
index e08f363..2ff6ece 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.pdf
+++ b/Year 1/Calculus/notes.pdf
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex
index be4dd10..006cdee 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes.tex
@@ -25,6 +25,12 @@
 \renewcommand{\thesection}{Лекция \arabic{section}}
 \renewcommand{\thesubsection}{\quad\arabic{section}.\arabic{subsection}}
 
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
 \usepackage[pdfauthor={Kamen Mladenov: syndamia.com, gitlab.com/Syndamia},
 		    pdftitle={Mathematical Analysis, Computer Science 2021, Winter Semester},
 		    pdfsubject={Бележки по Математически анализ (Диференциално и интегрално смятане)},
@@ -34,7 +40,7 @@
 
 \begin{document}
 
-Не са написани някои неща, които вече фигурират във \href{https://gitlab.com/Syndamia/uni-projects/-/blob/main/Year\%201/Discrete\%20math/notes.pdf}{файла по Дискретни структури} в \newline
+Не са написани някои неща, които вече фигурират във \href{https://syndamia.com/files/uni-work/dstr/notes.pdf}{файла по Дискретни структури} в \newline
 \textbf{Лекция 2}, \textbf{Лекция 3}, \textbf{Лекция 4} и \textbf{Лекция 6}.
 
 \section{\underline{Реални числа - първа част}}
@@ -55,9 +61,9 @@
 \begin{itemize}
 	\item \emph{Равенство:} \newline $a = b$, ако имат еднакви знаци и
 	\begin{itemize}
-		\item \emph{или} $a_i = b_i$ за всички $i \in \{0, 1, 2, ... \}$,
-		\item \emph{или} съществува $n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$, такова че $a_i = b_i$ за всички $i \in \{ 0, 1, 2, ..., n-1 \}, a_n = b_n + 1$ и $a_j = 0, b_j = 9$ за всички $j \in \{ n+1, n+2, ... \}$ \newline
-		Tоест $a_0 . a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n 00 \cdots = a_0 . a_1 a_2 \cdots a_{n-1} (a_n - 1) 99 \cdots$ ($1.33 \cdots 3300 \cdots = 1.33 \cdots 3299 \cdots$)
+		\item \emph{или} $\forall i \in \{0, 1, 2, ... \} : a_i = b_i$,
+		\item \emph{или} $\exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \forall i \in \{ 0, 1, 2, ..., n-1 \}, a_i = b_i \forall j \in \{ n+1, n+2, ... \}, a_j = 0, b_j = 9: a_n = b_n + 1$ \newline
+		Пример: $1.333 \cdots 33300 \cdots 0 \cdots = 1.333 \cdots 33299 \cdots 9 \cdots$
 	\end{itemize}
 
 	\item \emph{Сравняване:}
@@ -81,15 +87,15 @@
 Нека $A \subset \mathbb{R}$
 
 \begin{itemize}
-	\item \emph{Множество, ограничено отгоре} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \; \forall a \in A : a \leq M$ \quad $M$ - \emph{горна граница (мажоранта)}
+	\item \emph{Множество, ограничено отгоре} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \forall a \in A : a \leq M$ \quad $M$ - \emph{горна граница (мажоранта)}
 	
 	Най-малката горна граница наричаме \emph{точна горна граница или супремум на $A$ $(\sup A)$}
 	\begin{enumerate}
-		\item $a \leq \sup A \; \forall a \in A$ \qquad ($\sup A$ е горна граница)
-		\item $\forall c < \sup A \; \exists a \in A : a > c$ \qquad (няма по-малка горна граница)
+		\item $a \leq \sup A \forall a \in A$ \qquad ($\sup A$ е горна граница)
+		\item $\forall c < \sup A \exists a \in A : a > c$ \qquad (няма по-малка горна граница)
 	\end{enumerate}
 	
-	\item \emph{Множество, ограничено отдолу} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \; \forall a \in A : a \geq M$ \quad $M$ - \emph{долна граница (миноранта)}
+	\item \emph{Множество, ограничено отдолу} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \forall a \in A : a \geq M$ \quad $M$ - \emph{долна граница (миноранта)}
 	
 	Най-малката долна граница наричаме \emph{точна долна граница или инфимум на $A$ $(\inf A)$}
 	
@@ -109,42 +115,6 @@
 
 \subsection{Непрекъснати наредени полета}
 
-Нека $R$ е поле с дефинирани събиране, умножение е релацията $\preceq$:
-\begin{align*}
-	\oplus : R \rightarrow R, \quad \otimes : R \rightarrow R, \quad \preceq \subset R \times R
-\end{align*}
-
-$(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато наредено поле, ако са в сила:
-
-\begin{enumerate}[label=\Roman*.]
-	\item Аксиоми за събирането
-	\begin{enumerate}
-		\item \emph{Асоциативност} \hfill $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c) \quad \forall a, b, c \in R$
-		\item \emph{Комутативност} \hfill $a \oplus b = b \oplus a \quad \forall a \in R \; \forall b \in R$
-		\item \emph{Неутрален елемент} \hfill $\exists 0 \in R \; \forall a \in R : a \oplus 0 = 0 \oplus a = a$
-		\item \emph{Противоположен елемент} \hfill $\forall a \in R \; \exists (-a) \in R : a \oplus (-a) = (-a) \oplus a = 0$
-	\end{enumerate}
-	
-	\item Аксиоми за умножението
-	\begin{enumerate}
-		\item \emph{Асоциативност} \hfill $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c) \quad \forall a, b, c \in R$
-		\item \emph{Комутативност} \hfill $a \otimes b = b \otimes a \quad \forall a \in R \; \forall b \in R$
-		\item \emph{Неутрален елемент} \hfill $\exists e \in R \; \forall a \in R : a \otimes e = e \otimes a = a$
-		\item \emph{Обратен елемент} \hfill $\forall a \in R, a \neq 0 \; \exists a^{-1} \in R : a \otimes a^{-1} = a^{-1} \otimes a = e$
-		\item \emph{Дистрибутивност} \hfill $(a \oplus b) \otimes c = (a \otimes c) \oplus (b \otimes c) \quad \forall a, b, c \in R$
-	\end{enumerate}
-	
-	\item Аксиоми, свързани с наредбата
-	\begin{enumerate}
-		\item $\forall a, b \in R : \quad a \preceq b$ или $b \preceq a$
-		\item \emph{Рефлексивност} \hfill $a \preceq a \quad \forall a \in R$
-		\item \emph{Антисиметричност} \hfill $a \preceq a$ и $b \preceq a \implies a = b \quad \forall a, b \in R$
-		\item \emph{Транзитивност} \hfill $a \preceq b$ и $b \preceq c \implies a \preceq c \quad \forall a, b, c, \in R$
-		\item \emph{Връзка със събирането} \hfill $a \preceq b \implies a \oplus c \preceq b \oplus c \quad \forall a, b, c \in R$
-		\item \emph{Връзка с умножението} \hfill $a \preceq b \implies a \otimes c \preceq b \otimes c \quad \forall a, b, c \in R$
-	\end{enumerate}
-\end{enumerate}
-
 \emph{Аксиома на Архимед: } Ако $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ е непрекъснато наредено поле с неутрален елемент $e$ относно умножението, то $\{ e, e+e, e+e+e, ... \}$ не е ограничено отгоре.
 
 \subsection{Изброими множества и редици}
@@ -155,9 +125,14 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 
 \- \quad Ако разглеждаме $(a - \varepsilon, a + \varepsilon) \setminus \{ a \}$, говорим за \emph{пробита околност} \newline
 
+\emph{Редица: } Всяко изображение $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$\newline
+
 \emph{Граница на редица: } Редицата $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ има граница $a \in \mathbb{R}$, ако за всяка околност на $a$, $\{ n \in \mathbb{N} : a_n \in U \}$ е кофинитно. \hfill (тоест, ако всяка околност на $a$ съдържа почти всички членове) \newline
 
-\emph{Сходяща редица: } Ако за $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ съществува $a \in \mathbb{R}$, такова че $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ или $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$
+\emph{Сходяща редица: }
+\begin{align*}
+	\exists a \in \mathbb{R} : a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a \iff \forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : |a_n - a| < \varepsilon
+\end{align*}
 
 \emph{Разходяща редица: } Ако не е сходяща
 
@@ -171,9 +146,9 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 	
 	\item Сходящите редици са ограничени
 	
-	\item Ако $a_n \leq b_n \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad$ то $\quad a \leq b$
+	\item Ако $a_n \leq b_n \forall n \in \mathbb{N}, \quad$ то $\quad a \leq b$
 	
-	\item \emph{Лема за двамата полицаи: } Нека $a_n \leq c_n \leq b_n \; \forall n \in \mathbb{N}$. \newline
+	\item \emph{Лема за двамата полицаи: } Нека $a_n \leq c_n \leq b_n \forall n \in \mathbb{N}$. \newline
 	Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a, \quad b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a , \quad$ то $\quad c_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a\quad$ (и $\{ c_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща) \newline
 	
 	\emph{Следствие: } Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$ и $\{ b_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е ограничена, то $a_n . b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$
@@ -189,11 +164,17 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 
 \subsection{Дивергиране към безкрайност}
 
-\emph{Околност на $+\infty$: } Ако съществува $M \in \mathbb{R}$ такова, че $(M, +\infty) \subset U$, то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $+\infty$
+\emph{Околност на $+\infty$: } $\exists M \in \mathbb{R}, (M, +\infty) \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $+\infty$
 
-\emph{Околност на $-\infty$: } Ако съществува $M \in \mathbb{R}$ такова, че $(-\infty, M) \subset U$, то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $-\infty$
+\emph{Околност на $-\infty$: } $\exists M \in \mathbb{R}, (-\infty, M) \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $-\infty$
 
-\emph{Околност на $\infty$: } Ако съществува $M > 0$ такова, че $[(-\infty, -M) \cup (M, +\infty)] \subset U$, \newline \- \hfill то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $\infty$
+\emph{Околност на $\infty$: } $\exists M > 0, [(-\infty, -M) \cup (M, +\infty)] \subset U \subset \mathbb{R} : U$ e околност на $\infty$
+
+\begin{align*}
+	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} +\infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : a_n > M \\
+	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} -\infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : a_n < M \\
+	a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \infty & \iff \forall M \in \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n : |a_n| > M \\
+\end{align*}
 
 \subsection{Монотонни редици}
 
@@ -213,7 +194,7 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 
 \noindent
 \begin{align*}
-	e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
+	e := \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right)
 \end{align*}
 
 \section{\underline{Редици от релани числа. Граници на функции.}}
@@ -226,7 +207,7 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 
 \- \qquad Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$, то $a$ е (единствената) точка на сгъстяване \newline
 
-\emph{Подредица: } Ако задраскаме част от членовете, така че да останат безкрайно много и запазим реда на останалите
+\emph{Подредица: } Ако задраскаме част от членовете, така че да останат безкрайно много и запазим реда на останалите (композиция на строго растящо $n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ и $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$)
 
 \- \qquad Ако $\{  a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща редица ($a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$) и $\{  a_{n_k} \}^{\infty}_{k = 1}$ е нейна подредица, то $a_{n_k} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$ \newline
 
@@ -236,7 +217,7 @@ $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато на�
 
 \subsection{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост}
 
-\emph{Фундаментална редица: } $\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \; \forall m \geq n_0 \; \forall n \geq n_0 : |a_m - a_n| < \varepsilon$ (тоест, чрез отстраняване на краен брой елементи от началото, разстоянието между произволни два от останалите може да се направи произволно малко) \newline
+\emph{Фундаментална редица: } $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall m \geq n_0 \forall n \geq n_0 : |a_m - a_n| < \varepsilon$ (разстоянието между произволни два от елемента може да се направи произволно малко, от някъде нататък; условие за сходимост без да използваме граница) \newline
 
 \emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост на числова редица: } Една редица от реални числа е сходяща точно тогава, когато е фундаментална
 
@@ -279,6 +260,15 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \emph{Композиция на функции: } $g \circ f: X \rightarrow Z$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, \quad при $f: X \rightarrow Y$ и $g: Y \rightarrow Z$ \newline
 
+\subsection{Граница на дивергираща функция}
+
+\noindent
+\begin{align*}
+	& \xi, \eta \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty, \infty \} & \\
+	\lim_{x \rightarrow \xi} f(x) = \eta & \iff \forall U \text{околност на } \eta \exists V \text{околност на } \xi \forall x \in V \cap D, x \neq \xi : f(x) \in U  & \emph{(форма на Коши)} \\
+	& \iff \forall \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset D \setminus \{ \xi \}, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \xi : f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \eta & \emph{(форма на Хайне)}
+\end{align*}
+
 \noindent
 \emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за съществуване на граница на функция}: 
 \begin{align*}
@@ -306,11 +296,13 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \emph{Теорема за междинните стойности: } Ако $f(a) < c < f(b)$ или $f(b) < c < f(a)$, то съществува $x_0 \in (a, b) : f(x_0) = c$
 
-\emph{Интервал: } $\Delta \subset \mathbb{R}$ наричаме интервал, ако $x_1 \in \Delta, x_2 \in \Delta, x_1 < x_2 \implies [x_1, x_2] \subset \Delta$ \newline
+\emph{Интервал: } $\Delta \subset \mathbb{R}$ наричаме интервал, ако $x_1 \in \Delta, x_2 \in \Delta, x_1 < x_2 \implies [x_1, x_2] \subset \Delta$
+
+\quad \emph{Следствие: } Непрекъснатият образ на интервал е интервал\newline
 
 \emph{Теорема на Вайерщрас: } Щом $f$ е непрекъсната, то $f$ е ограничена и има най-голяма и най-малка стойност \newline
 
-\emph{Равномерна непрекъснатост: } За $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, $f$ е равномерно непрекъсната в D, ако $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ (различава се с това, че никога не зависим от $x_0$) \newline
+\emph{Равномерна непрекъснатост: } За $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, $f$ е равномерно непрекъсната в D, ако $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D \forall x_0 \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ \quad ($\delta$ не зависи от $x_0$) \newline
 
 \emph{Теорема на Кантор: } Ако $f$ е непрекъсната, то $f$ е равномерно непрекъсната в $[a, b]$
 
@@ -353,7 +345,7 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \emph{Диференцируемост на функция: } $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ е  диференцируема в точка $x \in \Delta$, ако съществува граница $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
 \begin{align*}
-	f'(x) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{y \rightarrow x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x}
+	f'(x) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
 \end{align*}
 
 Ако $f$ е диференцируема в $x$, то $f$ е непрекъсната в $x$
@@ -387,7 +379,7 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \section{\underline{Основни теореми за диференцируеми функции}}
 
-\emph{Локален екстремум на функция: } Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ има \emph{локален минимум} в $x_0$, ако съществува $\delta > 0$, такова че $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \in D$ и $f(x_0) \leq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Аналогично има \emph{локален максимум} ако $f(x_0) \geq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$.
+\emph{Локален екстремум на функция: } Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ има \emph{локален минимум} в $x_0$, ако съществува $\delta > 0$, такова че $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset D$ и $f(x_0) \leq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Аналогично има \emph{локален максимум} ако $f(x_0) \geq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$.
 
 \hfill
 
@@ -618,4 +610,8 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 	& = \frac{M'}{2} \int \frac{d(y^2 + b^2)}{(y^2 + b^2)^{\beta}} + N' \int \frac{dy}{(y^2 + b^2)^{\beta}} = \cdots
 \end{align*}
 
+\vfill
+
+\emph{\color{gray} \footnotesize Изготвено от Камен Младенов <kamen@syndamia.com> \hfill Версия 19.09.2022-1}
+
 \end{document}
\ No newline at end of file