# Задачи

<https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week06/>

## За решаване

### Задача 1

През 1837 година, [Чарлз Бабидж](https://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Babbage) пита въпроса:

.quote
What is the smallest positive integer whose square ends in the digits 269,696?

Според него това число е 99736 (чиито квадрат е 9947269696).
Напишете програма, която **намира** най-малкото число, отговарящо на въпроса.

|Вход|Изход|
|---|---|
| |25264|

### Задача 2

От входа получавате 8 цели положителни числа.
Трябва да изкарате най-голямото общо делимо между всички тези числа.

|Вход|Изход|
|---|---|
|8 8 8 8 8 8 8 8|8|
|2 6 14 8 20 4 12 14|2|
|318 577 200 235 72 333 947 37|1|

### Задача 3

Получавате цяло положително число.
В него трябва да замените всички срещания на най-срещаната цифра с 0.

Ако има няколко такива цифри, трябва да замените само най голямата от тях.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1|0|
|5|0|
|10|0|
|15|10|
|99|0|
|9988|88|
|138783|130703|
|535735737|535035030|

### Задача 4

Получавате една редица от 15 цели числа и след това втора редица с 5 цели уникални числа.
Трябва да върнете броя срещания в първата редица на всяко от числата във втората редица.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15<br>1 2 3 4 5|1 1 1 1 1|
|1 2 2 1 1 2 0 2 1 1 0 2 2 1 1<br>-9 0 1 2 300|0 2 7 6 0|

### Задача 5

От входа получавате две реални числа: координати на точка в равнината.
Спрямо следното изображение:

![](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week06/img/rectangle_and_line.png)

изкарайте дали точката е в защрихованата област или не.
Областта **не** включва правата и правоъгълника!

Зачитайте, че черните прави отбелязват главните оси, а разстоянията между съседни сиви оси е единица.

|Вход|Изход|
|---|---|
|0 0|Outside|
|-1 0|Outside|
|-1.1 0|Inside|
|-2 1|Inside|
|-4 2|Outside|
|-3.9 1.9|Inside|
|-4 -1|Outside|
|-3.9 -0.9|Inside|
|1 2|Outside|
|0.9 2|Outside|
|1 1.9|Outside|
|0.9 1.9|Outside|
|0.8 1.9|Inside|

### Задача 6

От входа получавате цяло положително число.
Трябва да върнете дали то е [щастливо](https://en.wikipedia.org/wiki/Happy_number).

Нека да вземем нашето число и да го заменим със сумата на всички свои цифри, повдигнати на квадрат.
Оригиналното число е щастливо, ако след краен брой прилагания на тази операция, получим числото 1.

Когато число не е щастливо, влизаме в безкрайния цикъл 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, ...
Това е единствения възможен цикъл в който нещастно число може да попадне.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1|Happy|
|7|Happy|
|14|Not happy|
|28|Happy|
|318|Not happy|
|319|Happy|
|320|Happy|
|888|Happy|

### Задача 7

От входа получавате 6 реални числа.
Пресметнете съответните 6 [префиксни суми](https://en.wikipedia.org/wiki/Prefix_sum) и ги изкарайте.

Това са сумите на всички числа до сега.
Тоест, префиксната сума на второто число е сумата на първото и второто число.
Префиксата сума на третото число е сумата на първото, второто и третото число.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3 4 5 6|1 3 6 10 15 21|
|30.86 967.214 85 515.27 -453 -37.79|30.86 998.074 1083.07 1598.34 1145.34 1107.55|

### Задача 8

От входа получавате две реални числа: координати на точка в равнината.
Спрямо следното изображение:

![](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week06/img/two_circles.png)

изкарайте дали точката е в защрихованата област или не.
Областта **не** включва самите окръжности!

Зачитайте, че черните прави отбелязват главните оси, а разстоянията между съседни сиви оси е единица.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 1|Outside|
|-1.5 -2.5|Outside|
|0 2|Outside|
|0 2.1|Inside|
|-1 2|Inside|
|4 0|Outside|
|3.9 0|Inside|
|3 0|Inside|
|3 -1|Outside|
|3 -2|Inside|
|2.586 -2.5356|Inside|
|2.5356 -2.586|Outside|
|-1.54 1.584|Inside|
|-1.55 1.55|Outside|

### Задача 9

От входа получавате 10 цели числа.
Трябва да върнете дали сред тях същестуват три числа (на различни позиции), чиято сума е равна на 0.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10|Exists|
|2 4 45 6 -10 5 -45 8 23 11|Exists|
|1 4 45 6 -11 4 -45 8 23 11|Doesn't exist|

### Задача 10

От входа получавате четири трицифрени цели неотрицателн числа.
Трябва да върнете най-голямото възможно цяло число, което се получава след "слепване" на тези числа.

*Не е нужно да използвате сортиращ алгоритъм!*

|Вход|Изход|
|---|---|
|100 200 300 400|400300200100|
|552 285 732 937|937732552285|
|492 352 289 382|492382352289|

### Задача 11

От входа получавате две реални числа: координати на точка в равнината.
Спрямо следното изображение:

![](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week06/img/triangle_and_circle.png)

Областта **не** включва правата и правоъгълника!

Зачитайте, че черните прави отбелязват главните оси, а разстоянията между съседни сиви оси е единица.

|Вход|Изход|
|---|---|
|-1 1|Inside|
|-1 -1|Outside|
|-2 -1|Inside|
|2 2|Inside|
|3 2|Outside|
|2.9 2|Inside|
|0 1.5|Inside|
|1 1.5|Outside|
|2 1.5|Inside|
|2 1.1|Outside|
|-3.354 -1.831|Inside|
|1.864 1.356|Inside|
|1.73 1.287|Outside|

## За самоподготовка

### Задача 12

От входа получавате цяло неотрицателно число.
Трябва да върнете дали е [число на "сума-произведение"](https://en.wikipedia.org/wiki/Sum-product_number).

С други думи, дали е равно на сумата на цифрите си, умножено по умнежнието на цифрите.

|Вход|Изход|
|---|---|
|0|Sum-product number|
|2|Not a sum-product number|
|22|Not a sum-product number|
|135|Sum-product number|
|1337|Not a sum-product number|

### Задача 13

От входа получавате цяло положително число.
Трябва да върнете всички негови делители.

|Вход|Изход|
|---|---|
|5|1 5|
|15|1 3 5|
|16|1 2 4 8 16|
|137|1 137|
|864|1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 72 96 108 144 216 288 432 864|

### Задача 14

От входа получавате две цели неотрицателни числа.
Трябва да намерите [тетрацията](https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration) на първото числото на степен второто число.

Както нормалното степенуване е повторено умножение, така тетрацията е повторено степенуване.
Число на тетрация "степен" озачава, че числото се повдига на нормална степен себе си, тетрация степен на брой пъти.

Тетрацията расте бързо, използвайте най-големия възможен тип.

|Вход|Изход|
|---|---|
|2 4|65536|
|3 1|3|
|3 2|27|
|3 3|7625597484987|
|8 2|16777216|

### Задача 15

От входа получавате 8 цели неотрицателни числа.
Трябва да върнете най-малкото общо кратно на всеки две съседни числа.

Най-малко общо кратно е най-малкото число, което се дели без остатък на двете числа.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3 4 5 6 7 8|2 6 12 20 30 42 56|
|4 6 9 389 13 13 2 8|12 18 3501 5057 13 26 8|

### Задача 16

От входа получавате две реални числа: координати на точка в равнината.
Спрямо следното изображение:

![](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week06/img/rectangles_and_circle.png)

изкарайте дали точката е в защрихованата област или не.

Зачитайте, че всяка сива права отбелязва брой единици разстояние от нулата.

|Вход|Изход|
|---|---|
|0 0|Outside|
|-1 -1|Outside|
|-0.5 -0.5|Inside|
|0 0.75|Inside|
|2 0|Outside|
|1.5 0|Outside|
|1.5 0.1|Inside|
|1 0.5|Outside|

### Задача 17

От входа получавате две естествени числа, `a` и `b`.
Трябва да върнете дали `a` е [унитарен делител](https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_divisor) на `b`.

Това е изпълнено, когато `a` е делител на `b` и най-големия общ делител на `a` и `b / a` е 1.

|Вход|Изход|
|---|---|
|5 60|Unitary divisor|
|6 60|Not a unitary divisor|
|5 10|Unitary divisor|
|4 12|Unitary divisor|
|6 12|Not a unitary divisor|

### Задача 18

От входа получавате 10 реални числа.
Трябва да върнете най-голямата възможна сума, получена чрез събиране на колкото и дълга **последователна** редица от елементи.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3 4 5 6 7 8 9 10|55|
|-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7|28|
|-2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4 -9|6|
|-4 13.3 5.5 7 -6.5 10 0 -15 2.1 3|29.3|