# Задачи

<https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week03/>

## За решаване

### Задача 1

Получавате цяло число. Трябва да върнете 0 ако е нечетно и 1 ако е четно.

|Вход|Изход|
|---|---|
|5|0|
|10|1|

### Задача 2

Получавате главна буква. Трябва да върнете съответната малка буква.

|Вход|Изход|
|---|---|
|A|a|
|Z|z|
|U|u|

### Задача 3

Получавате 3 цели числа, трябва да върнете 1 ако образуват аритметична прогресия и 0 иначе.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3|1|
|4 5 7|0|
|4 6 7|0|
|-3 5 13|1|

### Задача 5

Получавате десетично число: сума в левове. Трябва да върнете същата сума в евро, като 1 € = 1.95583 лв.

Поради прецизност при такива числа, вашите изходи може с много малко да се различават.

|Вход|Изход|
|---|---|
|1|0.511292|
|1.95583|1|
|15|7.66938|
|199.99|102.253|
|450|230.081|

### Задача 6

Получавате две булеви стойности. Трябва да върнете 1 ако свойството "би-импликация" е изпълнено за тях. Иначе върнете 0.

Припомняме, че би-импликацията и импликацията се дефинират по следния начин:

![p <-> q = (p -> q) ^ (q -> p) ; p -> q = !p v q](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week03/img/biimplication.png)

|Вход|Изход|
|---|---|
|0 1|0|
|1 1|1|
|1 0|0|
|0 0|1|

### Задача 7

Получавате 4 цели числа от входа. За тях трябва да изкарате:

- средно аритметично,
- сума,
- сума от вида 1/<първо число> + 1/<второ число> + ...,
- умножение. 

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 2 3 4|2.5 10 2.08333 24|
|13 151 7 29|50.0 200 0.260886 398489|
|-293 6 0 -1|-72.0 -288 inf 0|

### Задача 8

Получавате 5 реални числа: коефициентите на полином от трета степен a (a различно от 0), b, c, d и потенциален негов корен x.

Трябва да върнете 1 ако x е корен на уравнението и 0 ако не е.

Припомняме, че x е корен на кубично уравнение, когато:

![ax^3 + bx^2 + cx + d = 0](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week03/img/cubic.png)

|Вход|Изход|
|---|---|
|2 3 -11 -6 2|1|
|2 3 -11 -6 -0.5|1|
|2 3 -11 -6 -3|1|
|2 3 -11 -6 -2|0|
|3 -3 -90 0 0|1|
|5 -2 5 -2 0.4|1|

### Задача 10

Получавате 6 реални числа: коефициентите на два (ортонормирани) триизмерни вектора. Върнете тяхното точково умножение.

Припомняме, че алгебричата дефиниция на точковото умножение е:

![a . b = a1b1 + a2b2 + ...](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week03/img/dotproduct.png)

|Вход|Изход|
|---|---|
|1 3 -5 4 -2 -1|3|
|1.5 2.45 3.8 1.01 5 7.005|40.384|
|-1 -2 3 4 0 -8|-28|
|3 2 1 6 5 2|30|

## За самоподготовка

### Задача 12

Първите релефни етикети (които човек може сам да попълни) са въведени през 1958 от DYMO.

Механични устройства съдържат диск с букви (знаци), който се завърта докато не се избере желаната буква. Чрез стискане на дръжката, малък чук прищипва лентата върху диска (който има релефи на буквите), пластмасовата лента се изкривява и буква се отпечтва (подобно на пишеща машина).

Нека нашия диск съдържа само малки букви. Във входа получавате две малки букви: коя буква е избрана в момента и коя буква е желана. Трябва да върнете с колко позиции на ляво (обратно на часовниковата стрелка) трябва да се завърти диска, така че желаната буква да се избере.

|Вход|Изход|
|---|---|
|a a|0|
|a b|1|
|a z|25|
|z a|1|
|k j|25|
|w d|7|

### Задача 13

През 629, индийския математик Бхаскара 1ви представя една забележителна апроксимация на синус функцията (в радиани):

![sin x ~= (16x(pi-x)) / (5pi^2 - 4x(pi-x)), 0 <= x <= pi](https://syndamia.com/teaching/upp-2025/week03/img/sineapprox.png)

От входа ще получите два ъгъла в радиани, α и β, чиято сума е между 0 и π/2 (включително).

Използвайки единствено апроксимацията на Бхаскара 1ви, пресметнете tg(α + β).
Не може да използвате коренуване!

За константата π, използвайте поне 5 цифри след десетичната запетая.
Подсказка
Използвайте факта, че може да представите косинус чрез отместване на синус.

|Вход|Изход|
|---|---|
|0 0|0|
|0.392698 0.392698|1|
|0 1.047196|1.72973|
|3.14159 -1.570795|inf|
|-0.523598 1.047196|0.578125|
|0.523598 0.392698|1.30265|

### Задача 16

Получавате 8 реални числа: всеки две последователни образуват координат в равнината. Първите два координата представят горния ляв и долния десен ъгъл на първи правоъгълник. Вторите два координата представят горния ляв и долния десен ъгъл на втори правоъгълник.

Трябва да върнете 1 ако правоъгълниците се пресичат и 0 иначе.

|Вход|Изход|
|---|---|
|0 6 4 0 6 6 8 2|0|
|0 6 4 0 4 6 8 2|1|
|0 6 4 0 3 3 8 2|1|
|-3 4.5 2.1 0.5 0 6 4 0|1|
|-4 8 5 -2 0 6 4 0|1|