% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{extarrows}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{graphicx}           % Изображения

\usepackage{textcomp}
\usepackage{listings}
\newfontfamily{\lstsansserif}[Scale=1]{DejaVuSansMono}
\lstset{ 
  basicstyle=\lstsansserif\footnotesize,        % the size of the fonts that are used for the code
  breakatwhitespace=false,         % sets if automatic breaks should only happen at whitespace
  breaklines=true,                 % sets automatic line breaking
  frame=single,	                   % adds a frame around the code
  keepspaces=true,                 % keeps spaces in text, useful for keeping indentation of code (possibly needs columns=flexible)
  numbers=none,                    % where to put the line-numbers; possible values are (none, left, right)
  showspaces=false,                % show spaces everywhere adding particular underscores; it overrides 'showstringspaces'
  showstringspaces=false,          % underline spaces within strings only
  showtabs=false,                  % show tabs within strings adding particular underscores
  literate = {-}{-}1{"}{\textquotedbl}1{*}{\normalfont{*}}1,
}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, },
		    pdftitle={Решения на задачи от Домашно 1 по ВИС практикум},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Решения на задачи от Домашно 1 по ВИС практикум}
\author{Камен Димитров Младенов, FN}
\date{16.04.2024}

\begin{document}

\maketitle

\paragraph{Задача 1.}

Имаме $24$ ябълки, от които $4$ са червиви. Разпределяме ябълките в $4$ кутии, така че да са с равен брой ябълки. С помощта на симулации намерете приближение на вероятността във всяка кутия да има по една червива ябълка.

\subparagraph{Решение} \hfill

\lstinputlisting[language=R, firstline=1, lastline=19, caption=Сорс-код]{hw1.r}

\begin{lstlisting}[language=R, caption=Получен резултат]
[1] 0.12
\end{lstlisting}

Вероятността във всяка кутия да има по една червива ябълка е приблизително 12\%.

\vfill

\paragraph{Задача 2.}

За $\,n=30, 120, 200\,$ генерирайте случайни числа $\,x_1, \ldots, x_n\,$ от експоненциално разпределение с параметър $\,\lambda=1/5\,$ и пресметнете $\,\overline{x} = (x_1 + \ldots + x_n)/n$.
Повторете $\,N=10000\,$ пъти и ще получите $\,\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_{10000}$. Нека

$$ \widehat{F}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbb{I}(\overline{x}_i \leq t) ,$$
където $\,\mathbb{I}(a)\,$ е единица, ако $\,a\,$ е вярно и нула, в противен случай.

\begin{itemize}
\item Направете графика на $\,\widehat{F}(t)$.
Може да използвате функцията `plot(x, y, type="l")`.

\item На същата картинка добавете графика на функцията на разпределение на $\,\mathcal{N}(\mu=5, \, \sigma=5/\sqrt{n})$. Двете графики трябва да са с различен цвят или едната да е с пунктирана линия.

\item Трябва да получите три картинки -- по една за всяка стойност на $\,n$.
\end{itemize}


\subparagraph{Решение} \hfill

\lstinputlisting[language=R, firstline=21, caption=Сорс-код]{hw1.r}

Получен резултат при $n = 30$: \newline
\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot30.png}

Получен резултат при $n = 120$: \newline
\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot120.png}

\newpage

Получен резултат при $n = 200$: \newline
\includegraphics[scale=0.5]{hw1-ex2-plot200.png}


\end{document}