% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 3 по А2, Зад 4},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №3, Задача 4 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{31 Май 2023}

\begin{document}

\maketitle

\section{Решение}

\begin{align*}
	& \left| \begin{array}{ll}
		x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 & = 3 \\
		x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_1 x_5 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_4 + x_3 x_5 + x_4 x_5 & = -5 \\
		x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_2 x_5 + x_1 x_3 x_4 + x_1 x_3 x_5 + x_1 x_4 x_5 + x_2 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_5 + x_2 x_4 x_5 + x_3 x_4 x_5 & = -p \\
		x_1 x_2 x_3 x_4 + x_1 x_2 x_3 x_5 + x_1 x_2 x_4 x_5 + x_1 x_3 x_4 x_5 + x_2 x_3 x_4 x_5 & = q \\
		x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 & = -r \\
		x_1 + x_2 + x_3 = 2(x_4 + x_5) \\
		x_4 x_5 = 6(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 3 x_1 x_2 x_3
	\end{array} \right. \\
	& \text{От равенства 1 и 6} \implies 2(x_4 + x_5) + x_4 + x_5 = 3 \iff x_4 + x_5 = 1 \\
	& \left| \begin{array}{ll}
		x_4 + x_5 & = 1 \\
		(x_4 + x_5)(x_1 + x_2 + x_3) + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_4 x_5 & = -5 \\
		(x_4 + x_5)(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) + x_1 x_2 x_3 + x_1 x_4 x_5 + x_2 x_4 x_5 + x_3 x_4 x_5 & = -p \\
		(x_4 + x_5) x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 x_5 + x_1 x_3 x_4 x_5 + x_2 x_3 x_4 x_5 & = q \\
		x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 & = -r \\
		x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
		x_4 x_5 = 6(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 3 x_1 x_2 x_3
	\end{array} \right. \\
	& \text{От равенства 2 и 6} \implies x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_4 x_5 = -7 \quad \text{ от равенство 7 } \implies \frac{1}{6} x_4 x_5 + x_4 x_5 = -7 \\
	& \iff \frac{7}{6}x_4 x_5 = -7 \iff x_4 x_5 = -6 \\
	& \left| \begin{array}{ll}
		x_4 + x_5 & = 1 \\
		x_4 x_5 & = -6 \\
		(x_4 x_5)(x_1 + x_2 + x_3) + x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 x_3 & = -p \\
		(x_4 x_5)(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) + x_1 x_2 x_3 & = q \\
		(x_4 x_5) x_1 x_2 x_3 & = -r \\
		x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
		-6 = 6(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 3 x_1 x_2 x_3
	\end{array} \right. \\
	& \text{От равенства 3 и 2 и 6} \implies -6 . 2 + (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) + x_1 x_2 x_3 = -p \quad \text{ от рав. 7 } \\
	& \implies -12 - 1 + x_1 x_2 x_3 = -p \iff x_1 x_2 x_3 = 13 - p \quad \text{ от рав 7 } \implies -2 = 13 - p \implies p = 15 \\
	& \text{От равенства 4 и 2 и 7} \implies -6 . (-1) + x_1 x_2 x_3 = q \quad \text{ от рав 7 } \implies 6 + (-2) = q \implies q = 4 \\
	& \text{От равенства 5 и 2 и 7} \implies (-6) . (-2) = -r \implies r = -12
\end{align*}

\end{document}