% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 3 по А2, Зад 2},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №3, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{31 Май 2023}

\begin{document}

\maketitle

\section{Решение}

$\gcd (1, -1, -2, 1, -7, 10) = \pm 1 \implies f(x)$ е примитивен, то тогава той е разложим над $\mathbb{Q} \iff$ е разложим над $\mathbb{Z}$. Ще разгледаме съществено разлагане $f(x) = f_1(x) f_2(x) \quad f_1, f_2 \in \mathbb{Z}[x]$:
% Thanks https://www.math10.com/forumbg/files/horner_139.gif
\begin{align*}
	& 5 = \deg (f) = \deg (f_1) + \deg (f_2), \quad 0 < \deg (f_1), \quad \deg (f_2) < \deg (f) \quad \text{Б.О.О. } \deg (f_1) \leq \deg(f_2) \\
	& \text{Тогава } \deg (f_1) = 1, \deg (f_2) = 4 \text{ или } \deg (f_1) = 2, \deg (f_2) = 3 \text{. Ще разгледаме първата възможност.} \\
	& f_1(x) = x - r_1, \; r_1 \in \mathbb{Z} \quad r_1 \text{ е делител на свободния член } \implies r_1 \in \{ -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10 \} \\
	& \text{Избираме } r_1 = 2 \text{ и проверяваме по правилото на Хорнер}: \quad
	\begin{array}{r|rrrrrr}
		& 1 & -1 & -2 & 1 & -7 & 10 \\
		\hline
		2 & 1 & 1 & 0 & 1 & -5 & 0 \\
	\end{array} \\
	& \text{Следователно } f(x) = (x-2)(x^4 + x^3 + x - 5) \text{. Задачата се свежда до разлагане на полинома} \\
	& f_2(x) = x^4 + x^3 + x - 5 \in \mathbb{Z}[x]
\end{align*}

$\gcd(1, -5) = \pm 1 \implies f_2(x)$ е примитивен и той е разложим над $\mathbb{Q} \iff$ е разложим над $\mathbb{Z}$. Ще разгледаме съществено разлагане $f_2(x) = f_3(x)f_4(x) \quad f_3, f_4 \in \mathbb{Z}[x]$
\begin{align*}	
	& 4 = \deg(f_2) = \deg (f_3) + \deg(f_4) \quad 0 \leq \deg(f_3), \deg(f_4) < \deg(f_2) \quad \text{Б.О.О. } \deg(f_3) \leq \deg(f_4) \\
	& \text{Тогава } \deg(f_3) = 1, \deg(f_4) = 3 \text{ или } \deg(f_3) = \deg(f_4) = 2 \text{. Ще разгледаме първата възможност.} \\
	& f_3(x) = x - r_2, \; r_2 \in \mathbb{Z} \quad r_2 \text{ е делител на свободния член } \implies r_2 \in \{ -5, -1, 1, 5 \} \\
	& \text{Пресмятаме по правилото на Хорнер: } \begin{array}{r|rrrrr}
		   & 1 & 1 & 0 & 1 & -5 \\
		\hline
		-5 & 1 & -4 & 20 & -99 & 490 \\
		-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & -6 \\
		 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & -2 \\
		 5 & 1 & 6 & 30 & 151 & 750 \\
	\end{array} \\
	& \text{Следователно } f_2(x) \text{ няма рационални корени и е неразложим над } \mathbb{Q}.
\end{align*}

Тоест, $f(x) = (x-2)(x^4 + x^3 + x - 5)$ e разлагането на $f(x)$ в произведение на неразложими множители над $\mathbb{Q}$.

\end{document}