% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
\usepackage{marvosym}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}

\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 3},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 3 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Май 2023}

\begin{document}

\maketitle

\section{(i)}

\begin{align*}
	& \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a+\sqrt{5}b \, i \mid a,b \in \mathbb{Z} \} \subset \mathbb{C} \qquad \text{За произволни } A = (a+\sqrt{5}b \, i), B = (c+\sqrt{5}d \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
	& A \pm B = (a+\sqrt{5}b \, i) \pm (c+\sqrt{5}d \, i) = (a \pm c) + \sqrt{5}(b \pm d) \, i \in \mathbb{C} \\
	& A . B = (a+\sqrt{5}b \, i)(c+\sqrt{5}d \, i) = ac + a\sqrt{5}d \, i + c\sqrt{5}b \, i + \sqrt{5}b \, i . \sqrt{5}d \, i = (ac - 5bd) + \sqrt{5}(ad + cb) \, i \in \mathbb{C} \\
	& \implies \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \leq \mathbb{C}
\end{align*}

\section{(ii)}

\begin{align*}
	& \text{Избираме произволно } \alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \quad |\alpha|^2 = \left|\sqrt{a^2 + \left(\sqrt{5}b\right)^2}\right|^2 = \sqrt{a^2 + 5b^2}^2 = a^2 + 5b^2 \\
	& a, b \in \mathbb{Z} \implies a^2, b^2 \in \mathbb{Z}^{\geq 0} \implies a^2 + 5b^2 \in \mathbb{Z}^{\geq 0}
\end{align*}

\section{(iii)}

$(\Rightarrow)$ Нека фиксираме произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^*$. Тогава съществува $\alpha' = (a'+\sqrt{5}b' \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че:
\begin{align*}
	& 1 + 0 \, i = 1 = \alpha \alpha' = (a+\sqrt{5}b \, i)(a'+\sqrt{5}b' \, i) = (aa' - 5bb') + \sqrt{5}(ab' + ba') \, i \\
	& \left| \begin{array}{ll}
		aa' - 5bb' & = 1 \\
		\sqrt{5}(ab' + ba') & = 0
	\end{array} \right. \quad
	\left| \begin{array}{lll}
		aa' - 5\left(\frac{-ba'}{a}\right) & = & 1 \\
		b' & = & \frac{-ba'}{a}
	\end{array} \right. \text{ Б.О.О. } a \neq 0 \\
	& \Rightarrow aa' + 5b^2 \frac{a'}{a} = 1 \quad a' = \frac{1}{a + \frac{5b^2}{a}} \quad a' = \frac{a}{a^2 + 5b^2} \Rightarrow b' = \frac{-ba}{a(a^2 + 5b^2)} = -\frac{b}{a^2 + 5b^2} \\
	& \text{Искаме: } a', b' \in \mathbb{Z}, \text{ тоест } (a^2 + 5b^2) \vert |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \vert |b|, \text{ но } (a^2 + 5b^2) \neq 0 \text{ по теорема за делимост} \\
	& \text{Нека да разглеждаме случая } b \neq 0, \text{ тогава } (a^2 + 5b^2) \leq |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \leq |b| \text{ обаче в същото време } \\
	& (a^2 + 5b^2) \geq |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \geq |b| \implies |b| = (a^2 + 5b^2) = |a|, \text{ обаче } |a| = |b| \Rightarrow a^2 + 5a^2 = |a| \Rightarrow a = 0 \text{ \Lightning} \\
	& \text{Тоест, } b = 0 \text{ и запазваме } a^2 + 5b^2 = |a| \iff a^2 = |a| \iff |a| = 1 \implies |\alpha|^2 = 1
\end{align*}

$(\Leftarrow)$ Нека фиксираме произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, за което $|\alpha|^2 = 1$.
\begin{align*}
	& |\alpha|^2 = 1 \quad |\alpha| = \sqrt{1} = 1 \quad |a + \sqrt{5}bi| = 1 \quad |a| + \sqrt{5}|b|i = 1 + 0i \implies |a| = 1, a = \pm 1 \text{ и } b = 0 \\
\end{align*}

\textbf{1 сл.)} $\alpha = 1$, тогава за $\alpha' = 1 \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, имаме че $\alpha \alpha' = 1.1 = 1 = 1.1 = \alpha' \alpha$, следователно $\alpha$ е обратим.

\textbf{2 сл.)} $\alpha = -1$, тогава за $\alpha' = -1 \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, имаме че $\alpha \alpha' = -1.-1 = 1 = -1.-1 = \alpha' \alpha$, следователно $\alpha$ е обратим.

\section{(iv)}

В (iii) показахме, че за произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^*$, $b = 0 \Rightarrow \alpha = a$, $|a| = 1 \implies a = \pm 1$ и $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^* = \{ \pm 1 \}$
	
\end{document}