% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}
\renewcommand{\thesubsection}{(\roman{subsection})}

\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 1 по А2, Зад 3},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №1, Задача 3 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{7 Април 2023}

\begin{document}

\maketitle

\subsection{Подточка}

Всички пермутации $\tau \in S_6$, които са спрегнати с $\sigma$, са всички единични цикли с дължина 6.
Тогава, знаем че $\Supp(\tau) := \{ i \mid \tau(i) \neq i \}$ се състои от 6 различни елемента.
Тоест, за един цикъл с 6 елемента $a_1, a_2, ..., a_6 \in \{1, ..., 6\}$, знаем че $\tau(a_i) \in \{1, ..., 6\} \setminus \{a_i\}$.
Следователно, за $a_1$ имаме 5 възможности, за $a_2$ имаме 4 възможности ($\tau(a_2) \in \{1, ..., 6\} \setminus \{a_1, a_2\}$) и так. нат. от което следва че броят такива цикли е $5! = 120$.

\subsection{Подточка}
Ще дадем примери за $\rho_1$ и $\rho_2$, които имат независими цикли:
\begin{align*}
	\text{Нека } & \rho_1 = (1)(2 \; 3)(4 \; 5 \; 6), \ord((1)(2 \; 3)(4 \; 5 \; 6)) = [\ord((2 \; 3)), \ord((4 \; 5 \; 6))] = [2, 3] = 6 \\
	& \rho_2 = (2)(1 \; 3)(4 \; 5 \; 6), \text{ напълно аналогично } \ord((2)(1 \; 3)(4 \; 5 \; 6)) = 6
\end{align*}

\subsection{Подточка}

Пермутации от ред 3 са всички тези с един цикъл с дължина 3 или с умножение на два независими цикъла с дължина 3.
Такива цикли имат две инверсии, тоест и в двата случая пермутациите са четни.

Разглеждаме броя на цикли с дължина 3.
Следвайки същата логика от \textbf{(i)}, $\Supp(\rho)$ се състои от 3 различни елемента $n_1, n_2, n_3 \in \{1, ..., 6\}$, за един цикъл с 3 елемента $a_1, a_2, a_3 \in \{n_1, n_2, n_3\}$, знаем че $\rho(a_i) \in \{n_1, n_2, n_3\} \setminus \{a_i\}$ и следователно за $a_1$ имаме 2 възможности и $a_2$ и $a_3$ се определят еднозначно.
Можем да направим общо $\binom{6}{3} = 20$ на брой избора за $n_1, n_2, n_3$.
Следователно за всеки избор на 3 елемента можем да направим 2 цикъла с дължина 3, което са общо $20.2 = 40$ на брой.

Разглеждаме броя на умножения на два независими цикъла с дължина 3.
При първия от двата вече показахме, че имаме $40$ бройки, като нека при него $a_1, a_2, a_3 \in \{n_1, n_2, n_3\}$.
Тогава за втория, аналогично имаме, че $a_1', a_2', a_3' \in \{n_1', n_2', n_3'\}$, обаче $n_1', n_2', n_3' \in \{1, ..., 6\} \setminus \{n_1, n_2, n_3\}$.
Тоест, $n_1', n_2', n_3'$ се определят еднозначно и имаме по две възможности за втория цикъл спрямо всеки избор на първия цикъл.
Това са общо $40.2 = 80$ възможни цикли.

Следователно, има общо $40+80=120$ на брой четни цикъла от ред 3.


\subsection{Подточка}
	
В \textbf{(iii)} показахме, че всички пермутации от ред 3 са четни.
Тоест, броят на нечетните е нула.
	
\end{document}