% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}
\renewcommand{\thesubsection}{(\roman{subsection})}

\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 1 по А2, Зад 2},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №1, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{7 Април 2023}

\begin{document}

\maketitle

\subsection{Подточка}

Ще покажем, че $L$ е подгрупа на $G$, съгласно:
\begin{align*}
	\forall a, b \in \mathbb{Z}: \; na + kb \in \mathbb{Z} \implies L \subseteq G
\end{align*}

Тоест ще докажем, че $\forall l, m \in L \Rightarrow l.m \in L, m^{-1} \in L$.

Нека $l = g^{na_1 + kb_1}, m = g^{na_2 + kb_2}$ за произволни фиксирани $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z}$:
\begin{align*}
	& l.m = g^{na_1 + kb_1} g^{na_2 + kb_2} = g^{na_1 + kb_1 + na_2 + kb_2} = g^{n(a_1 + b_1) + k(a_2 + b_2)}, \quad a_1 + b_1, a_2 + b_2 \in \mathbb{Z} \implies l.m \in L \\
	& m^{-1} = g^{-(na_2 + kb_2)} = g^{-na_2 - kb_2} = g^{n(-a_2) + k(-b_2)}, \quad -a_2, -b_2 \in \mathbb{Z} \implies m^{-1} \in L
\end{align*}

\subsection{Подточка}

Ще покажем, че $L = \langle g^d \rangle$, тоест че $\{g^{na + kb} \mid a,b \in \mathbb{Z}\} = \{g^{dp} \mid p \in \mathbb{Z}\}$.

Разглеждаме произволно $g^{na + kb}$:
\begin{align*}
	& d = \gcd(n,k) \Rightarrow \frac{n}{d} = n', \frac{k}{d} = k' \text{ за някои } n', k' \in \mathbb{N} \qquad na + kb = dn'a + dk'b = d(n'a + k'b) \\
	& n', k' \in \mathbb{N}, a, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow (n'a + k'b) \in \mathbb{Z}, \text{ тоест } g^{na + kb} = g^{d(n'a + k'b)} = g^{dp} \text{ за някое } p \in \mathbb{Z}
\end{align*}

\subsection{Подточка}

Ще покажем, че $\langle g^n \rangle \cap \langle g^k \rangle = \langle g^m \rangle$, тоест че $\{g^{ni} \mid i \in \mathbb{Z}\} \cap \{g^{ki} \mid i \in \mathbb{Z}\} = \{g^{mi} \mid i \in \mathbb{Z}\}$.

Разглеждаме произволни $g^{ni}, g^{ki}, g^{mi}$:
\begin{align*}
	& m = \lcm(n, k) \Rightarrow \frac{m}{n} = n', \frac{m}{k} = k' \text{ за някои } n', k' \in \mathbb{N} \\
	& g^{mi} = g^{nn'i}, n' \in \mathbb{N}, i \in \mathbb{Z} \Rightarrow n'i \in \mathbb{Z} \Rightarrow g^{mi} = g^{nj} \text{ за някое } j \in \mathbb{Z} \\
	& \text{Абсолютно аналогично, следва че } g^{mi} = g^{kj} \text{ за някое } j \in \mathbb{Z} \\
\end{align*}

\end{document}