% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}
\renewcommand{\thesubsection}{(\roman{subsection})}

\newcommand{\im}{\operatorname{im}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 1 по А2, Зад 1},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №1, Задача 1 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{7 Април 2023}

\begin{document}

\maketitle

\subsection{Подточка}

Ще докажем, че $G$ е подгрупа на $GL_2(\mathbb{R})$, съгласно
\begin{align*}
	\forall A = \left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & b
	\end{array} \right) \in G, \text{ знаем че } a, b \in \mathbb{R}^* \implies \det(A) = a.b - c.0 = ab \neq 0 \text{ и } G \subseteq GL_2(\mathbb{R})
\end{align*}

Тоест ще докажем, че $\forall A,B \in G \Rightarrow A.B \in G, B^{-1} \in G$. Нека
\begin{align*}
	A = \left( \begin{array}{cc}
		a_1 & c_1 \\
		0 & b_1
	\end{array} \right) \qquad
	B = \left( \begin{array}{cc}
		a_2 & c_2 \\
		0 & b_2
	\end{array} \right)
\end{align*}

\begin{align*}
	A.B =
	\left( \begin{array}{cc}
		a_1 & c_1 \\
		0 & b_1
	\end{array} \right)
	\left( \begin{array}{cc}
		a_2 & c_2 \\
		0 & b_2
	\end{array} \right) = 
	\left( \begin{array}{cc}
		a_1 a_2 & a_1 c_2 + c_1 b_2 \\
		0 & b_1 b_2
	\end{array} \right) = C
\end{align*}
\begin{align*}
	a_1 a_2, b_1 b_2 \in \mathbb{R}^* \implies C \in G \text{ и } \det(C) \neq 0
\end{align*}
\begin{align*}
	B^{-1} = \left( \begin{array}{cc}
		a_2 & c_2 \\
		0 & b_2
	\end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det(B)}
	\left( \begin{array}{cc}
		B_{11} & B_{12} \\
		B_{21} & B_{22}
	\end{array} \right)^\top = \frac{1}{\det(B)}
	\left( \begin{array}{cc}
		b_2 & 0 \\
		c_2 & a_2
	\end{array} \right)^\top = \frac{1}{\det(B)}
	\left( \begin{array}{cc}
		b_2 & c_2 \\
		0 & a_2
	\end{array} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
	a_2, b_2 \in \mathbb{R}^* \text{ и } \det(B) \neq 0 \implies B^{-1} \in G \text{ и } \det(B^{-1}) \neq 0
\end{align*}

\subsection{Подточка}

Ще докажем, че изображението $\varphi$ е хомоморфизъм на групи, като
\begin{align*}
	\varphi : G \rightarrow \mathbb{R}^*, \quad \forall
	\left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & b
	\end{array} \right) \in G: \;
	\varphi
	\left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & b
	\end{array} \right) = a^2b
\end{align*}
\begin{align*}
	\varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a_1 & c_1 \\
		0 & b_1
	\end{array} \right)
	\left( \begin{array}{cc}
		a_2 & c_2 \\
		0 & b_2
	\end{array} \right)
	\right) & = 
	\varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a_1 a_2 & a_1 c_2 + c_1 b_2 \\
		0 & b_1 b_2
	\end{array} \right) 
	\right) = (a_1a_2)^2(b_1b_2) = (a_1^2b_1)(a_2^2b_2) \\
	& = \varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a_1 & c_1 \\
		0 & b_1
	\end{array} \right) \right)
	\varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a_2 & c_2 \\
		0 & b_2
	\end{array} \right) \right) \implies \varphi \text{ е хомоморфизъм}
\end{align*}
\begin{align*}
	\forall a \in \mathbb{R}^*, \forall c \in \mathbb{R}: \; \varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & a^{-1}
	\end{array} \right) \right) = a^2a^{-1} = a \implies \varphi \text{ е върху}
\end{align*}

Забелязваме, че
\begin{align*}
	\forall a \in \mathbb{R}^* \forall c \in \mathbb{R}: \; \varphi \left(
	\left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & a^{-2}
	\end{array} \right) \right) = a^2a^{-2} = 1
	\implies \ker(\varphi) = \left\{ \left( \left. \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & a^{-2}
	\end{array} \right) \right| a \in \mathbb{R}^*, c \in \mathbb{R} \right\} = H
\end{align*}
\begin{align*}
	\forall a, b \in \mathbb{R}^*, \forall c \in \mathbb{R}: \; \varphi
	\left( \begin{array}{cc}
		a & c \\
		0 & b
	\end{array} \right) = a^2b \in \mathbb{R}^* \implies \im(\varphi) = \mathbb{R}^*
\end{align*}

От теоремата за хомоморфизмите, следва че $G / H = G / \ker(\varphi) \simeq \im (\varphi) = \mathbb{R}^*$
	
\end{document}