% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \DeclareMathOperator{\D}{d} \usepackage{extarrows} \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} \usepackage{graphicx} \usepackage{tikz} \newcommand{\lipoint}[3]{\draw (#1, 3pt) -- (#1, -3pt) node[below] {#2} node[above] {#3}} \newcommand{\parch}[2]{\node[above] at (#1, 0) {#2} ; \draw (#1 + 0.5, 0) arc (0:180:0.5)} \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate]{label=\arabic*.} \usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021}, pdftitle={Домашна работа 3 по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток}, pdfsubject={}, pdfkeywords={}, colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} \title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{23 Януари 2022} \begin{document} \maketitle \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.}} Пресметнете границата \begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x^2+1) - 3e^x + \sqrt[4]{12x + 1} + 2}{\tg(x^2) - 1 + \cos x}. \end{align*} \paragraph{Решение:} Развиваме функциите в дробта по Маклорен: \begin{align*} & \ln (x^2 + 1) = x^2 + o(x^2) \qquad e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \\ & (1 + 12x)^{\frac{1}{4}} = 1 + \frac{1}{4}12x + \binom{\frac{1}{4}}{2}x^2 + o(x^2) = 1 + 3x - \frac{27}{2}x^2 + o(x^2) \\ & \quad (\tg (x^2))' = \frac{(\sin (x^2))' \cos (x^2) - \sin (x^2) (\cos (x^2))'}{\cos^2 (x^2)} = \frac{2x \cos^2(x^2) + 2x \sin^2(x^2)}{\cos ^2 (x^2)} = \frac{2x}{\cos ^2 (x^2)} \\ & \quad (\tg (x^2))'' = \left( \frac{2x}{\cos ^2 (x^2)} \right)' = \frac{(2x)'\cos^2 (x^2) - 2x(\cos^2 (x^2))'}{\cos^4(x^2)} = \frac{2\cos^2 (x^2) + 8x^2\sin (x^2) \cos(x^2)}{\cos^4(x^2)} \\ & \quad \tg(0) = 0, \quad (\tg(x^2))'(0) = 0, \quad (\tg(x^2))''(0) = \frac{2}{2} x^2 \implies \tg (x^2) = x^2 + o(x^2) \end{align*} Тоест границата е еквивалентна на: \begin{align*} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 + -3 \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} \right) + 1 + 3x - \frac{27}{2}x^2 + 2 + o(x^2)}{x^2 - 1 + 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \\ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cancel{- 3} \cancel{- 3x} -3 \frac{x^2}{2} + \cancel{1} + \cancel{3x} - 27 \frac{x^2}{2} + \cancel{2} + o(x^2)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{28}{2}x^2 + o(x^2)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \left( -\frac{28}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2} \right)}{x^2 \left( \frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2} \right)} = \answerbox{-28} \end{align*} \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.}} Да се развие по формулата на Маклорен с точност до $o(x^{2n})$ функцията \begin{align*} f(x) = (x^2-1) \cos 2x + \ln (3 - 6x^2) \end{align*} \paragraph{Решение:} [TODO] \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.}} Да се докаже, че за всяко $x < 0$ е изпълнено, че \begin{align*} \frac{1}{2(1 + \sqrt{2})}\arctg \frac{x^2 - 1}{2x} + \ln \sqrt{x^2 + 1} - \frac{(\sqrt{2} - 1)\pi}{8} \geq \frac{1}{2} \ln \left( 4 - 2 \sqrt{2} \right) \end{align*} \paragraph{Решение:} [TODO] \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.}} Изследвайте функцията и начертайте графиката и: \begin{align*} f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} \end{align*} \paragraph{Решение:} \begin{enumerate}[label={\emph{\arabic*.}}] \item \emph{Дефиниционна Област: } $1 + x^2 > 0 \quad x^2 > -1 \implies x \in \mathbb{R}$ \item \emph{Четност: }$f(-x) = \frac{-x - 1}{\sqrt{1 + (-x)^2}} = \frac{-x - 1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Не е равно на $f(x)$ или $-f(x)$, следователно нито е четна, нито е нечетна. \item \emph{Асимптоти: } \begin{align*} & \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{\sqrt{x^2 \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{|x|\sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cancel{x} (1 - \frac{1}{x})}{\cancel{x} \sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = 1 \\ & \text{Аналогично } \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cancel{x} (1 - \frac{1}{x})}{-\cancel{x} \sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = -1 \end{align*} Следователно, $y = 1$ е хоризонтална асимптота в $+\infty$ и $y = -1$ е хоризонтална асимптота в $-\infty$. Няма наклонена асимптота. \item \emph{Екстремуми: } \begin{align*} f'(x) & = \left( \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} \right)' = \frac{(x-1)'\sqrt{1+x^2} - \left( \sqrt{1+x^2} \right)'(x-1)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}2x(x-1)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^2} = \\ & = \frac{2(1+x^2) - 2x^2 + 2x}{2 \left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3} = \frac{1 + x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3} = 0 \implies x = -1 \end{align*} $f'(x)$ е отрицателна в $(-\infty; -1)$ и положителна в $(-1; +\infty)$, следователно $f(x)$ има локален минимум в -1, за който $f(-1) = \frac{-2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2}$ \item \emph{Изпъкналост: } \begin{align*} f''(x) & = \frac{(1+x)'\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 - \left( \left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 \right)' (1+x)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^6} = \frac{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 - \sqrt{1+x^2}(3x)(1+x)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^6} = \\ & = \frac{(1 + x^2) - 3x - 3x^2}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^5} = \frac{1 - 3x - 2x^2}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^5} = 0 \implies x_{1/2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{-4} \end{align*} $f''(x)$ е отрицателна в $\left( -\infty; \frac{3+\sqrt{17}}{-4} \right) \cup \left( \frac{3-\sqrt{17}}{-4}; +\infty \right)$ и положителна в $\left( \frac{3+\sqrt{17}}{-4} ; \frac{3-\sqrt{17}}{-4} \right)$. Следователно, в първия интервал $f(x)$ е вдлъбната и изпъкнала във втория. \newline Пресмятаме: $\frac{3+\sqrt{17}}{-4} \approx -1.78 \quad f(-1.78) \approx -1.36 \qquad \frac{3-\sqrt{17}}{-4} \approx 0.28 \quad f(0.28) \approx -0.69$ \item \emph{Характеристични точки: } \begin{align*} f(0) = \frac{-1}{\sqrt{1}} = -1 \qquad f(x) = 0 \quad \frac{x-1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \implies x = 1 \end{align*} \item \emph{Графика на функцията: } \newline \begin{center} \begin{tabular}{r|rrrrrrrrrrrrr} $x$ & $-\infty$ && $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}$ && $-1$ && $0$ && $\frac{3-\sqrt{17}}{-4}$ && $1$ && $+\infty$ \\ \hline $f(x)$ && $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\searrow}$ & $\approx -1.36$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\searrow}$ & $-\sqrt{2}$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\nearrow}$ & -1 & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\nearrow}$ & $\approx -0.69$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\nearrow}$ & 0 & $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\nearrow}$ \\[1.2em] $f'(x)$ && $-$ && $-$ & $0$ & $+$ && $+$ && $+$ && $+$ \\ $f''(x)$ && $-$ && $+$ && $+$ && $+$ && $-$ && $-$ \end{tabular} \includegraphics[scale=1]{func-graphic.png} \end{center} \end{enumerate} \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 5.}} Пресметнете интеграла \begin{align*} \int x \arctg(x^2) \D x \end{align*} \paragraph{Решение:} \begin{align*} & \int x \arctg(x^2) \D x = \int \arctg(x^2) \D \left( \frac{x^2}{2} \right) \xlongequal{\text{По части}} \frac{x^2}{2}\arctg(x^2) - \int \frac{x^2}{2} \D \arctg(x^2) \\ & \qquad \int \frac{x^2}{2} \D \arctg(x^2) = \int \frac{x^2}{\cancel{2}} \frac{1}{x^4+1} \cancel{2}x \D x = \int \frac{1}{x^4+1} \cdot \frac{4}{4} x^3 \D x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^4+1} d(x^4) = \frac{1}{4} \ln (x^4 + 1) + c \\ & \implies \int x \arctg(x^2) \D x = \answerbox{\frac{x^2}{2}\arctg(x^2) - \frac{1}{4} \ln (x^4 + 1) + c} \end{align*} \end{document}