% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{extarrows}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Теоритично домашно по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Теоритично домашно по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{16 Януари 2022}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{Salmon}{\parbox{\textwidth}{\; Отличен 4,10/6 \qquad [Няма коментари]}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.} Решение:} Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R}$ и $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = L$
\begin{align*}
	\text{(а) } & \text{Дефиниция: } \forall \varepsilon > 0 \exists M \in \mathbb{R} \forall x \in (M; +\infty) \cap D : |f(x) - L| < \varepsilon \\
	& \text{Отрицание: } \exists \varepsilon > 0 \forall M \in \mathbb{R} \exists x \in (M; +\infty) \cap D : |f(x) - L| \geq \varepsilon \\ \\
	\text{(б) } & \text{Дефиниция: } \forall \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} +\infty : f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} L \\
	& \text{Отрицание: } \exists \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} +\infty : \exists \varepsilon > 0 \forall n_0 \in \mathbb{N} \exists n \geq n_0 : |f(x_n) - L| \geq \varepsilon \\ \\
	\text{(в) } & \text{Дефиниция: } \forall \varepsilon > 0 \exists M \in \mathbb{R} \forall x', x'' \in D \cap (M; +\infty) : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon \\
	& \text{Отрицание: } \exists \varepsilon > 0 \forall M \in \mathbb{R} \exists x', x'' \in D \cap (M; +\infty) : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon
\end{align*}

\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.} Решение:}
\begin{align*}
	& \text{Нека } x_{max} \in M : f(x_{max}) = \sup \{ f(x) : x \in M \} \text{ и } x_{min} \in M : f(x_{min}) = \inf \{ f(x) : x \in M \} \\
	& \text{То тогава } f(x_{min}) \leq f(x) \leq f(x_{max}) \quad \forall x \in M \text{ и } -f(x_{max}) \leq -f(x) \leq -f(x_{min}) \quad \forall x \in M \\
	& \implies f(x_{min}) - f(x_{max}) \leq f(x) - f(y) \leq f(x_{max}) - f(x_{min}) \quad \forall x, y \in M \\
	& \qquad \implies |f(x) - f(y)| \leq |f(x_{max}) - f(x_{min})| \leq f(x_{max}) - f(x_{min}) \quad \forall x, y \in M \\
	& \qquad \implies f(x_{max}) - f(x_{min}) \leq |f(x_{min}) - f(x_{max})| \leq |f(x) - f(y)| \quad \forall x, y \in M \\
	& \implies f(x_{max}) - f(x_{min}) \leq |f(x) - f(y)| \leq f(x_{max}) - f(x_{min}) \\
	& \qquad \implies \sup \{ |f(x) - f(y)| : x, y \in M \} \leq \sup \{ f(x) : x \in M \} - \inf \{ f(x) : x \in M \} \\
	& \qquad \implies w(f, M) = \sup \{ f(x) : x \in M \} - \inf \{ f(x) : x \in M \}
\end{align*}

\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.} Решение:}
\begin{align*}
	\text{(а) } & \text{Нека } \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \text{ и } \{b_n\}_{n=1}^{\infty} \text{ да бъдат редици, такива че } a_n = f(k), k \geq a \text{ и } b_n = \inf\{ f(x) : x > n \} \\
	& \text{Ще докажем, че } \{b_n\} \text{ има граница. Всеки елемент на } \{b_n\} \text{ е инфимум } \Rightarrow \forall n_1 \geq n_0 : b_{n_1} \geq b_{n_0} \\
	& f \text{ ограничена } \implies \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \text{ органичена. Следователно } \{b_n\} \text{ е ограничена растяща редица.} \\ \\
	\text{(б) } & \text{Допускаме противното, тоест съществува $l$, когато } \exists \varepsilon > 0 \forall N > a \exists x \in (N; +\infty) : f(x) \leq l - \varepsilon \\
	& \text{Обаче, щом съществува $l$, то } \forall N > a \forall x \in (N; +\infty) : f(x) \geq \inf \{ f(x) : x \in (N; +\infty) \} \\
	& \text{Тоест } \forall N > a \forall x \in (N; +\infty) : f(x) \geq l \text{ Противоречие!} \\ \\
	& \text{Отново допускаме противното, че съществува $l$, като не съществува редица } x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} +\infty \text{ ,}\\
	& \text{за която } f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} l. \text{ Построяваме редицата } \{b_n\}_{n=1}^{\infty}, b_n = x \text{ такова че } f(x) = \inf\{ f(y) : y > n \}. \\
	& \text{То тогава, ще можем да построим редицата } \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, a_n = f(b_n). \text{ Тази редица ще клони към $l$,} \\
	& \text{понеже } \lim_{N \rightarrow +\infty} (\inf \{ f(x) : x > N \}) \text{ стигаме до противоречие!}
\end{align*}

\end{document}