% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{topics-style}

\newcommand{\topic}{Матрица на линейно изображение на крайномерни пространства. Смяна на базиса. Трансформация на матрицата на линейно изображение при смяна на базиса. Подобни матрици.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{05 Февруари 2022}

\begin{document}

\maketitle

Твърдим, че за линейно изображение $\varphi : U \rightarrow V$, наредена $m$-торка $u = (u_1, ..., u_m), u_1, ..., u_m \in U$ и матрицата $A=(a_{ij})_{i=1j=1}^{m \;\;\; n} \in M_{m \times n}(F)$: $\quad \varphi(uA) = \varphi(u)A, \quad$ където
\begin{align*}
	& uA := (v_1, ..., v_n), \qquad v_j := (u_1, u_2, ..., u_m)\left( \begin{array}{c}
		a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}
	\end{array} \right) = \sum_{i=1}^m a_{ij}u_i, \\
	& \varphi(uA) = \varphi(v_1, ..., v_n) := (\varphi(v_1), ..., \varphi(v_n)) \quad \text{ и } \quad \varphi(u) := (\varphi(u_1), ..., \varphi(u_m))
\end{align*}

\textbf{Доказателство:} Забелязваме, че
\begin{align*}
	\varphi(v_j) = \varphi\left( \sum_{i=1}^m a_{ij}u_j \right) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \varphi(u_i) = (\varphi(u_1), ..., \varphi(u_m)) \left( \begin{array}{c}
		a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj}
	\end{array} \right)
\end{align*}
\epr

По определение, за линейно изображение на крайномерни пространства над поле $F$ $\varphi : U \rightarrow V$, базис $e = (e_1, ..., e_n)$ на $U$ и базис $f = (f_1, ..., f_n)$ на $V$, матрицата $A = (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n)) \in M_{m \times n}(F)$ се нарича матрица на $\varphi$ спрямо базиса $e$ и $f$. Еквивалентно $\varphi(e) = fA$ за $\varphi(e) := (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n))$.

\lskip

Твърдим, че за линейно пространство $U$ над поле $F$, с линейно независими вектори $u_1, ..., u_m$, $u = (u_1, ..., u_m)$ и матрици $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n, B = (b_{ij})_{i,j=1}^n \in M_{m \times n}(F)$:

\hfill 1) $uA = \underbrace{(\zv, ..., \zv)}_n \implies A = \mathcal{O}_{m \times n}$ \hfill 2) $uA = uB \implies A = B$ \hfill\-

(Матрична форма на линейната независимост на вектори)

\textbf{Доказателство:} 1) След сравняването на $j$-тите компоненти ($j \in \{ 1, ..., n \}$) от двете страни, стигаме до:
\begin{align*}
	\left( \begin{array}{ccc}
		u_1 & \cdots & u_m
	\end{array} \right) 
	\left( \begin{array}{c} 
		a_{1,j} \\
		\vdots \\
		a_{m,j}
	\end{array} \right) = \zv \qquad \sum_{s=1}^m a_{s,j} u_s = \zv
\end{align*}
Обаче, понеже $u_1, ..., u_m$ са линейно независими, то $a_{s,j} = 0 \forall s \in \{ 1, ..., m \}$. Следователно $A = \mathcal{O}_{m \times n}$

2) Щом $uA = uB$, то $u(A-B) = uA - uB = \underbrace{(\zv, ..., \zv)}_n \implies A - B = \mathcal{O}_{m \times n} \implies A = B$. \epr

По определение, за $n$-мерно пространство $U$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi : U \rightarrow U$, матрицата $A = (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n)) \in M_{n \times n}(F)$ се нарича матрица на $\varphi$ спрямо базиса $e$. Еквивалентно, $\varphi(e) = eA$.

По определение, за линейно пространство $V$ над поле $F$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $f = (f_1, ..., f_n)$,
\begin{align*}
	\text{матрицата } T = (f_1, ..., f_j, ..., f_n) = \left( \begin{array}{cccccc}
		t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1j} & \cdots & t_{1n} \\
		t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2j} & \cdots & t_{2n} \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		t_{n1} & t_{n2} & \cdots & t_{nj} & \cdots & t_{nn}
	\end{array} \right) \in M_{n \times n}(F),
\end{align*}
\begin{align*}
	\text{където } f_1 = (e_1, ..., e_n) \left( \begin{array}{c}
		t_{11} \\ t_{21} \\ \vdots \\ t_{n1}
	\end{array}	\right), ..., f_n = (e_1, ..., e_n) \left( \begin{array}{c}
		t_{1n} \\ t_{2n} \\ \vdots \\ t_{nn}
	\end{array}	\right) \in V
\end{align*}
наричаме матрица на прехода от базиса $e$ към базиса $f$. Еквивалентно, $f = (f_1, ..., f_n) = (e_1, ..., e_n)T = eT$.

Твърдим, че за линейно пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и за матрица $T \in M_{n \times n}(F)$, $T$ е матрица на прехода от базиса $e$ към базиса $f = (f_1, ..., f_n) = eT \iff T$ е неособена.

\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Щом $f = eT$ е базис на $V$, то съществува матрица на прехода $S \in M_{n \times n}(F)$, за която $e = fS$. Тогава $eE_n = e = fS = (eT)S = e(TS) \implies E_n = TS$ (Лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори). Следователно $T$ е обратима и от там неособена матрица.

$(\Leftarrow)$ Ако $\det (T) \neq 0$, то вектор-стълбовете на $T$ са линейно независими (предишно твърдение). Следователно векторите $f_1, ..., f_n$, образуващи вектор-стълбовете на $T$ с координати спрямо базиса $e_1, ..., e_n$, образуват базис на $V$ (твърдение от миналата тема). \epr

Твърдим, че за линейно пространство $V$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $f = (f_1, ..., f_n)$, матрица на прехода $T \in M_{n \times n}(F)$ от $e$ към $f$ и произволен вектор $v \in V$ с координати $x, y \in M_{n \times 1}(F)$ съответно спрямо двата базиса, е изпълнено равенството $x = Ty$.

\textbf{Доказателство:} Щом $f = eT$ и $ex = v = fy$, то $ex = fy = (eT)y = e(Ty) \implies x = Ty$ (Лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори). \epr

Твърдим, че за линейно пространство $U$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $e' = eT$ (с матрица на прехода $T$), линейно пространство $V$ с базиси $f = (f_1, ..., f_n)$ и $f' = fS$ (с матрица на прехода $S$) и линейно изображение $\varphi: U \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базисите $e$ и $f$, матрицата $B$ на $\varphi$ спрямо базисите $e'$ и $f'$ изпълнява равенството $B = S^{-1}AT$.

\textbf{Доказателство:} По определение, $\varphi(e) = fA$ и $\varphi(e') = f'B$, заместваме с $e' = eT$ и $f' = fS$ (определение на матрица на прехода между два базиса). След прилагане на лемата за матричен запис на линейността на изображение и използване на асоциативността на умножението на матрици, стигаме до $f(AT) = (fA)T = \varphi(e)T = \varphi(eT) = \varphi(e') = f'B = (fS)B = f(SB)$. От лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори, $AT = SB$ и от минало твърдение, матрицата на прехода $S$ е обратима и $B = S^{-1}AT$. \epr

По определение, квадратни матрици $A, B \in M_{n \times n}(F)$ с един и същ размер са подобни, ако съществува обратима матрица $T \in M_{n \times n}(F)$, за която $B = T^{-1}AT$.

\lskip

Твърдим, че за $n$-мерно линейно пространство $V$ над полето $F$, квадратните матрици $A, B \in M_{n \times n}(F)$ са подобни $\iff$ съществува линеен оператор с тези матрици спрямо подходящи базиси.

\textbf{Доказателство:} $(\Leftarrow)$ От предишното твърдение, за линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базис $e$, матрицата на $\varphi$ спрямо базис $e' = eT$ ще бъде $B = T^{-1}AT$ и следователно $A$ и $B$ са подобни.

$(\Rightarrow)$ Нека $B = T^{-1}AT$, $e = (e_1, ..., e_n)$ да бъде базис на $V$ и $\varphi: V \rightarrow V$ е линеен оператор с матрица $A$ спрямо базиса $e$. $Т$ е неособена, следователно $e' = eT$ е базис на $V$ (минало твърдение). То тогава, матрицата на $\varphi$ спрямо базиса $e'$ е $T^{-1}AT = B$ (минало твърдение). \epr

\end{document}