% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\newcommand{\ex}{3 Въпрос}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{03 Януари 2022}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}

Спрямо базиса $e = (e_1, e_2, e_3)$ на линейно пространство $V$ над полето $\mathbb{C}$ на комплексните числа, са дадени линейният оператор $\varphi_1 : V \rightarrow V$ с
\begin{align*}
	\varphi_1 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (-2x_1 + 5x_2 + x_3)e_1 + (x_1 + x_2 + x_3)e_2 + (x_1 - 2x_2 + x_3)e_3
\end{align*}
за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$ и линейният оператор $\varphi_2 : V \rightarrow V$ с
\begin{align*}
	\varphi_2 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = x_1 e_1 + x_3 e_2 + x_2 e_3
\end{align*}
за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. \newline
Спрямо базиса $f = (f_1, f_2)$ на линейното пространство $W$ над $\mathbb{C}$ е дадено линейно изображение
\begin{align*}
	\psi : V \rightarrow W \quad \text{ с } \quad \psi (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (x_1 - 2x_2 + 3x_3)f_1 + (-2x_1 + 4x_2 - 6x_3)f_2
\end{align*}
за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. За кои стойности на комплексния параметър $p \in \mathbb{C}$ композицията $\psi (\varphi_1 + p\varphi_2) = \mathbb{O}$ е нулевото изображение $\mathbb{O} : V \rightarrow W$ с $\mathbb{O}(v) = \mathcal{O}_W$ за всяко $v \in V$.

\paragraph{Решение:}

\begin{align*}
	\psi (\varphi_1 + p\varphi_2) & = \psi ((-2x_1 + 5x_2 + x_3)e_1 + (x_1 + x_2 + x_3)e_2 + (x_1 - 2x_2 + x_3)e_3 + p(x_1 e_1 + x_3 e_2 + x_2 e_3)) = \\
	& = \psi ((-2x_1 + 5x_2 + x_3 + px_1)e_1 + (x_1 + x_2 + x_3 + px_3)e_2 + (x_1 - 2x_2 + x_3 + px_2)e_3) \\
	\text{Полагаме: } & -2x_1 + 5x_2 + x_3 + px_1 = y_1, \; x_1 + x_2 + x_3 + px_3 = y_2, \; x_1 - 2x_2 + x_3 + px_2 = y_3 \\
	& \implies \psi (\varphi_1 + p\varphi_2) = \psi (y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3) = (y_1 - 2y_2 + 3y_3)f_1 + (-2y_1 + 4y_2 - 6y_3)f_2
\end{align*}

Разглеждаме $y_1 - 2y_2 + 3y_3$:
\begin{align*}
	y_1 - 2y_2 + 3y_3 & = -2x_1 + 5x_2 + x_3 + px_1 - 2(x_1 + x_2 + x_3 + px_3) + 3(x_1 - 2x_2 + x_3 + px_2) = \\
	& = -2x_1 + 5x_2 + x_3 + px_1 - 2x_1 - 2x_2 - 2x_3 - 2px_3 + 3x_1 - 6x_2 + 3x_3 + 3px_2 = \\
	& = -(1-p)x_1 - 3 (1-p)x_2 -2(1-p)x_3 = -(1-p)(x_1 + 3x_2 + 2x_3)
\end{align*}

Разглеждаме $-2y_1 + 4y_2 - 6y_3$:
\begin{align*}
	-2y_1 + 4y_2 - 6y_3 & = -2(-2x_1 + 5x_2 + x_3 + px_1) + 4(x_1 + x_2 + x_3 + px_3) - 6(x_1 - 2x_2 + x_3 + px_2) = \\
	& = 4x_1 - 10x_2 - 2x_3 - 2px_1 + 4x_1 + 4x_2 + 4x_3 + 4px_3 - 6x_1 + 12x_2 - 6x_3 - 6px_2 = \\
	& = 2(1-p)x_1 + 6(1-p)x_2 - 4(1-p)x_3 = (1-p)(2x_1 + 6x_2 - 4x_3)
\end{align*}

Тоест, получаваме:
\begin{align*}
	\psi (y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3) = -(1-p)(x_1 + 3x_2 + 2x_3) \cdot f_1 + (1-p)(2x_1 + 6x_2 - 4x_3) \cdot f_2
\end{align*}

\answerbox{\implies \text{За } p = 1, \quad \psi (v) = \mathcal{O}_W = \mathbb{O}(v) \quad \forall v \in V}

\end{document}