% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\newcommand{\ex}{4 Въпрос}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{Goldenrod}{\parbox{\textwidth}{\; 0,70/1,00 Точки \qquad В четвърти ред, трети стълб на втората матрица имате $p- \frac{3}{2}$, а не $p - \frac{1}{2}$. Започвате делението на случаи преди да имате триъгълен вид. Затова намалявам с 0,3, не за техн. грешка.}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}

Да се намери рангът на матрицата
\begin{align*}
	A = \left( \begin{array}{rrrr}
		1 & -2 & p & 3 \\
		1 & -1 & 2 & -2 \\
		1 & 1 & 3 & -2 \\
		-1 & q & -3 & 12 \\
	\end{array}
	\right)
\end{align*}
в зависимост от стойностите на комплексните параметри $p, q \in \mathbb{C}$

\paragraph{Решение:}

Умножаваме втори ред по $-1$ и събираме с първи. Събираме трети ред с четвърти. Разменяме първи ред с втори, втори с трети и трети с четвърти. Получаваме:
\begin{align*}
	\left( \begin{array}{cccc}
		1 & -1 & 2 & -2 \\
		1 & 1 & 3 & -2 \\
		0 & q + 1 & 0 & 10 \\
		0 & -1 & p - 2 & 5
	\end{array}
	\right)
	\quad
	& \begin{aligned}
		& \text{Умножаваме първи ред с -1 и събираме с втори.} \\
		& \text{Получения втори ред делим на 2 и събираме с първи и четвърти.} \\
		& \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събраме с трети.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
		1 & 0 & \frac{5}{2} & -2 \\
		0 & 2 & 1 & 0 \\
		0 & q + 1 & -2p + 1 & 0 \\
		0 & 0 & p - \frac{1}{2} & 5
	\end{array}
	\right)
\end{align*}

\textbf{I. Случай: } $q + 1 = 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$

Ако и двете са нули, трети ред се занулява и получаваме Гаус-Жорданов вид с три линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 3$

\hfill

\textbf{II. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 = 0$ и $-2p + 1 \neq 0$

Делим трети ред на ненулевата стойност. Поетапно чрез трети, втори и четвърти ред ще занулим трета, втора и четвърта колона на останалите редове.

Стигаме до Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$

\hfill

\textbf{III. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 \neq 0$

\emph{1) Подслучай:} Tрети ред е линейно зависим от втори ред.

Тогава $\exists x \in \mathbb{C} \left( q + 1 = 2x \text{ и } -2p + 1 = x \right)$.

Следователно, $\rank(A) = 3$ за произволно $q$, когато $p = -\frac{q - 1}{4}$ (или за произволно $p$, когато $q = -4p + 1$).

\hfill

\emph{2) Подслучай:} Tрети ред не е линейно зависим от втори ред.

Умножаваме втори ред по $\frac{-(q+1)}{2}$ и събираме с трети. Делим трети на $-2p + 1 + \frac{-(q+1)}{2}$, след това поетапно чрез трети и четвърти ред зануляваме третата и четвъртата колона на останалите редове.

Стигаме до Гаус-Жорданов вид на три линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$

\hfill

\noindent
\answerbox{\implies \text{Ако } \left( q = -1 \text{ и } p = \frac{1}{2} \right) \text{ или } \left( \text{За произволно } q, \; p = \frac{1-q}{4} \right) \text{ или } \left( \text{За произволно } p, \; q = 1 - 4p \right),}

\noindent
\answerbox{\text{то рангът } \rank(A) = 3 \text{, иначе } \rank(A) = 4}

\end{document}