% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate]{label=\arabic*.} \newcommand{\ex}{3 Въпрос} \usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021}, pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}, pdfsubject={}, pdfkeywords={}, colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} \title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{12 Ноември 2021} \begin{document} \maketitle \noindent \colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}} \paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}} Да се реши матричното уравнение \begin{align*} \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & 3 & 1 \end{array} \right) X \left( \begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} -1 & 8 & -5 \\ -1 & 12 & -7 \\ 2 & 6 & -3 \\ -3 & 13 & -7 \end{array} \right) \end{align*} с числови коефициенти. \paragraph{Решение:} \noindent \begin{align*} & \text{Полагаме } Y = X \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \text{ и свеждаме към: } \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & 3 & 1 \end{array} \right) Y = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 8 & -5 \\ -1 & 12 & -7 \\ 2 & 6 & -3 \\ -3 & 13 & -7 \end{array} \right) \\ & \text{Образуваме матрицата: } \left( \begin{array}{cccc|ccc} 2 & 1 & 0 & -1 & -1 & 8 & -5 \\ 3 & 2 & 1 & -1 & -1 & 12 & -7 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 4 & 3 & 3 & 1 & -3 & 13 & -7 \end{array} \right) \end{align*} Умножаваме трети ред по -2 и събираме с първи, умножаваме трети по -3 и събираме с втори, умножаваме трети по -4 и събираме с четвърти. Получаваме: \noindent \begin{align*} & \left( \begin{array}{cccc|ccc} 0 & -1 & -2 & 1 & -5 & -4 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 2 & -7 & -6 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 5 & -11 & -11 & 5 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с втори.} \\ & \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} 0 & -1 & -2 & 1 & -5 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & -6 & -7 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме втори ред по -1 и събираме с първи.} \\ & \text{Събираме втори ред с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по -4 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме четвърти ред по 2 и събираме с първи.} \\ & \text{Умножаваме четвърти ред по -1 и събираме с трети.} \\ & \text{Събираме първи ред с трети. Умножаваме първи ред по -1.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Разменяме първи ред с трети.} \\ & \text{Разменяме втори с трети.} \\ & \text{Разменяме трети с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \end{array} \right) \end{align*} Лявата половина е в Гаус-Жорданов вид, следователно: \begin{align*} Y = X \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{array} \right) \end{align*} Транспонираме матричното уравнение и свеждаме към: \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) X^t = \left( \begin{array}{cccc} -1 & -1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{align*} От което образуваме матрицата \begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc|cccc} -2 & 1 & 1 & -1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\ & \text{Събираме втори ред с трети. Умножаваме новополучелият се} \\ & \text{трети ред по -5 и събираме с първи.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccc|cccc} 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред по -1. Събираме първи ред с втори.} \\ & \text{Умножваме трети по -2 и събираме с втори.} \\ & \text{Разменяме първи с втори и втори с трети ред.} \\ \end{aligned} \end{align*} \begin{align*} & \left( \begin{array}{ccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Лявата половина е в} \\ & \text{Гаус-Жорданов вид.} \\ \end{aligned} \\ & \implies X^t = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \quad \text{ и } \quad \answerbox{X = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right)} \end{align*} \end{document}