From 38207fcdaa3e3adb93302e3c4b6b5eb39cfed36b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Syndamia Date: Thu, 2 Dec 2021 18:34:23 +0200 Subject: Moved discrete math homework to it's own folder --- Year 1/Discrete math/Homework1.pdf | Bin 37937 -> 0 bytes Year 1/Discrete math/Homework1.tex | 153 --------------------------- Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.pdf | Bin 0 -> 37929 bytes Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.tex | 153 +++++++++++++++++++++++++++ 4 files changed, 153 insertions(+), 153 deletions(-) delete mode 100644 Year 1/Discrete math/Homework1.pdf delete mode 100644 Year 1/Discrete math/Homework1.tex create mode 100644 Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.pdf create mode 100644 Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.tex diff --git a/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf b/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf deleted file mode 100644 index d7abc64..0000000 Binary files a/Year 1/Discrete math/Homework1.pdf and /dev/null differ diff --git a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex b/Year 1/Discrete math/Homework1.tex deleted file mode 100644 index 108cc0b..0000000 --- a/Year 1/Discrete math/Homework1.tex +++ /dev/null @@ -1,153 +0,0 @@ -% Document MUST be built with XeLaTeX! -\documentclass[11pt,a4paper]{article} - -\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} - -% Поддръжка на български език -% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 -\usepackage{fontspec} -\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} -\setmainfont{CMU Serif} -\setsansfont{CMU Sans Serif} - -\usepackage[bulgarian,english]{babel} - -\usepackage{amsmath} % Математически символи -\usepackage{amsfonts} % Още математически символи -\usepackage{hyperref} % Линкове -\usepackage{cancel} % Зачертаване -\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове -\usepackage{tikz} - -\title{\vspace{-2cm}Домашно №1 по Дискретни Структури на специалност Компютърни -науки, 2 поток, зимен семестър 2020/2021г.} -\author{Камен Димитров Младенов, Група 6} -\date{15 Ноември 2021} - -\begin{document} - -\maketitle - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{\; 45/100 Точки \qquad [Коментарите са под определените места]}} - -\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.} Решение:} - -Нека от всеки каубой да начертаем права линия до най-близкия друг каубой, които линии да означим с $d_1, d_2, d_3, ..., d_n$ където $d_1 < d_2 < d_3 < ... < d_n$. \newline - -\textbf{I. случай:} Всичките линии са свързани последователно в една дълга кривяща се линия. Нека да означим каубоите в краищата на $d_n$ с $c_{2021}$ и $c_{2020}$. \colorbox{yellow}{Каубой $c_{2021}$ няма да бъде} \colorbox{yellow}{застрелян}, понеже най-близкия му каубой ще е $c_{2020}$, обаче за $c_{2020}$ най-близкия каубой ще е на другия край на $d_{n-1}$. \newline - -\textbf{II. случай:} Всички линии са отделени, тоест имаме само двойки застреляли се каубои. Понеже $2021$ е нечетна цифра, то ние ще имаме един каубой който не може да участва в двойка застреляни. Тоест, точно този \colorbox{yellow}{каубой няма да бъде застрелян}. \newline - -\textbf{III. случай:} Някои линиии са свързани в кривящи се линии, други са отделени. Всяка кривяща се линия може да се сведе до I. случай, следователно има \colorbox{yellow}{поне един незастрелян} \colorbox{yellow}{каубой}. - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Според мен не е очевидно, че картината винаги може да се раздели на няколко подфигури от 1-ви случай и няколко от 2-ри случай. Това трябва да се докаже по-подробно. -Например може да тръгнеш от произволен връх и да покажеш, че или той се стреля взаймно -с друг каубой и никой друг не стреля по тях (2-ри случай), или се намира някъде във фигура от 1-ви случай. След това от нечетния брой каубои става ясно, че ще има поне една фигура от 1-ви случай и това решава задачата.}} - -\colorbox{YellowGreen}{10т.} - -\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.} Решение:} - -Нека да наредим $h1, h2, h3, ..., h_n$ в редица с нарастващ ред на височина, тоест $h1 \; h2 \; h3 \; ... \; h_n$. Тогава, за всеки двама съседни човека, дискомфортът ще бъде възможно най-малкък и следователно общият дискомфорт също ще е най-малък. - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Не е ясно какво се има впредвид под дискомфорт на човек. Също май не е вярно, че дискомфортът на всеки отделен човек ще е възможно най-малък. Ако имаш впредвид сборът от дискомфортът на двамата му съседи, то си представи, че имам човек x, за когото първите двама по-високи от него са почти на същата височина, а предходният по височина е значително по-нисък. Тогава за него би било по-изгодно да е заобиколен от двамата високи, но глобално това не води до оптимално решение.}} - -Общият дискомфорт в тази ситуация ще бъде $|h_1 - h_2| + |h_2 - h_3| + ... + |h_{n-1} - h_n|$. Понеже височините на хората са в нарастващ ред, то това е еквивалентно на $(h_2 - h_1) + (h_3 - h_2) + ... + (h_n - h_{n-1}) = \cancel{h_2} - h_1 + \cancel{h_3} - \cancel{h_2} + ... + h_n - \cancel{h_{n-1}} = h_n - h_1$.\newline - -Обаче, ние искаме да ги наредим в кръг, което означава че към общия дискомфорт на нареждането в редица трябва да добавим и дискомфортът между първия и последния. Тоест, $h_n - h_1 + |h_1 - h_n|$. От $h_n > h_1$, следва че това е еквивалентно на $h_n - h_1 + h_n - h_1 = \colorbox{yellow}{$2 \left( h_n - h_1 \right)$}$.\newline - -\begin{minipage}{0.5\textwidth} -Пример за минимален общо дискомфорт е нареждане по височина на петима човека с височини $170, 174, 180, 190, 200$. Минималния общ дискомфорт при формулата е \newline $2 \cdot (200 - 170) = 2 \cdot 30 = 60$, равен с този от фигурата: $4 + 6 + 10 + 10 + 30 = 60$. - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Това е валиден пример, но трябва да се докаже, че наистина не може да се постигне по-нисък дискомфорт от дадения.}} -\end{minipage} -\begin{minipage}{0.05\textwidth} - \hfill -\end{minipage} -\begin{minipage}{0.4\textwidth} -\begin{tikzpicture} - \draw[thick] (0,0) circle (2cm); - \draw[fill=lime] (90 : 2) circle (0.5cm) node {$170$}; - \node at (126 : 2.3) {4}; - \draw[fill=lime] (162 : 2) circle (0.5cm) node {$174$}; - \node at (198 : 2.3) {6}; - \draw[fill=lime] (234 : 2) circle (0.5cm) node {$180$}; - \node at (270 : 2.3) {10}; - \draw[fill=lime] (306 : 2) circle (0.5cm) node {$190$}; - \node at (342 : 2.3) {10}; - \draw[fill=lime] (18 : 2) circle (0.5cm) node {$200$}; - \node at (54 : 2.3) {30}; -\end{tikzpicture} -\end{minipage} - -\colorbox{YellowGreen}{5т.} - -\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.} Решение:} \hfill\newline - -\noindent -\textbf{а)} Нека $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{N} ^ {>0}$ и $(a,b),(c,d),(e,f) \in \mathbb{N} ^ {>0} \times \mathbb{N} ^ {>0}$ \newline - -\noindent -\textbf{I.} Разглеждаме за рефлективност -\begin{align*} - (a,b)R(a,b) \iff ab = ba \quad \text{вярно от комутативност на умножението на } \mathbb{N} ^ {>0} -\end{align*} -\textbf{II.} Разглеждаме за симетричност -\begin{align*} - & (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \qquad\qquad (c,d)R(a,b) \iff cb = da \\ - & bc = cb \text{ вярно от комутативност на умножението на } \mathbb{N} ^ {>0} \implies ad = da -\end{align*} -\textbf{III.} Разглеждаме за транзитивност -\begin{align*} - & (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \implies \frac{d}{c} = \frac{b}{a} \qquad\qquad (c,d)R(e,f) \iff cf = de \implies \frac{f}{e} = \frac{d}{c} \\ - & \implies \frac{f}{e} = \frac{b}{a} \quad af = be \iff (a,b)R(e,f) -\end{align*} -\colorbox{yellow}{От I., II. и III. следва че $R$ е релация на еквивалентност}\newline - -\noindent -\textbf{б)} -\begin{align*} - (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} -\end{align*} -Следователно, всеки клас на еквивалентност е от вида $\left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\}$ за $r \in \mathbb{Q} ^ {>0}$. - -\noindent -\colorbox{Goldenrod}{\parbox{\textwidth}{Това е така, но е добре да кажеш по-подробно защо множеството е изброимо (например $\mathbb{Q} ^ {>0}$ е безкрайно подмножество на клас $\mathbb{Q}$, а на $\mathbb{Q}$ еквивалентност сме показвали, е че изброимо).}} - -\noindent -Множеството от всички класове на еквивалентност е \colorbox{yellow}{изброимо безкрайно}. Всеки клас на еквивалентност е изброим $\left( \left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\} \subset \mathbb{N} ^ 2 \right)$ и можем да го изброим чрез всички на кратни на прости числа (които вече не са използвани). Тоест, за първия клас на еквивалентност можем да използваме всяко второ число, за втория клас - всяко трето число (като пропускаме тези, които са кратни и на 2) и така нататък. - -\colorbox{YellowGreen}{25т.} - -\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.} Решение:} \hfill\newline - -\noindent -\textbf{а)} Щом S е крайно, значи съществува -\begin{align*} - & \text{произволно $w$ за което } f(w) = x \text{,} \\ - & \text{произволно $z$ за което } f(z) = w \quad \left( \;\; f\left( f(z) \right) = x \;\;\right) \text{,} \\ - & \text{произволно $s$ за което } f(s) = z \quad \left( \;\; f\left( f\left( f(s) \right) \right) = x \;\;\right) \\ - & \text{и така натаък. След краен брой подобни образувания, } \\ - & \text{ще стигнем до произволно } f(y) = t \quad \left( \;\; f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x \;\;\right) -\end{align*} -Имайки предвид индуктивната дефиниция, следва че имаме $f^n(y) = x$ за някакво $n > 1$. Обаче, по дефиниция, обратната фунцкяи $f^{-1}(y) = x$. \newline Тоест, \colorbox{yellow}{$f^n(y) = f^{-1}(y)$ за някакво $n > 1$}. \newline - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Това важи само за фиксирания елемент x. Ние искаме степен n, която да е валидна за всички x от S едновременно.}} - -\noindent -\textbf{б)} Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} $\left( \text{примерно } g(x) = \left\{\begin{array}{cc} - x + 1 & x \geq 1 \\ - x & x < 1 -\end{array}\right. \right)$ то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува. - -\noindent -\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{$f$ не е биекция! За кое x е вярно $f(x) = 1$? Щом f не е сюрекция, то не може да е и биекция. Ако искаш биекция в $\mathbb{N}$, която да не се затваря, то един вариант е $g(2k) = 2k-2 за k > 0; g(0) = 1; g(2k+1) = g(2k+3)$}} - -\colorbox{YellowGreen}{5т.} - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.pdf b/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.pdf new file mode 100644 index 0000000..9a446af Binary files /dev/null and b/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.pdf differ diff --git a/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.tex b/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.tex new file mode 100644 index 0000000..108cc0b --- /dev/null +++ b/Year 1/Discrete math/Homeworks/Homework1.tex @@ -0,0 +1,153 @@ +% Document MUST be built with XeLaTeX! +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} + +% Поддръжка на български език +% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 +\usepackage{fontspec} +\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} +\setmainfont{CMU Serif} +\setsansfont{CMU Sans Serif} + +\usepackage[bulgarian,english]{babel} + +\usepackage{amsmath} % Математически символи +\usepackage{amsfonts} % Още математически символи +\usepackage{hyperref} % Линкове +\usepackage{cancel} % Зачертаване +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове +\usepackage{tikz} + +\title{\vspace{-2cm}Домашно №1 по Дискретни Структури на специалност Компютърни +науки, 2 поток, зимен семестър 2020/2021г.} +\author{Камен Димитров Младенов, Група 6} +\date{15 Ноември 2021} + +\begin{document} + +\maketitle + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{\; 45/100 Точки \qquad [Коментарите са под определените места]}} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.} Решение:} + +Нека от всеки каубой да начертаем права линия до най-близкия друг каубой, които линии да означим с $d_1, d_2, d_3, ..., d_n$ където $d_1 < d_2 < d_3 < ... < d_n$. \newline + +\textbf{I. случай:} Всичките линии са свързани последователно в една дълга кривяща се линия. Нека да означим каубоите в краищата на $d_n$ с $c_{2021}$ и $c_{2020}$. \colorbox{yellow}{Каубой $c_{2021}$ няма да бъде} \colorbox{yellow}{застрелян}, понеже най-близкия му каубой ще е $c_{2020}$, обаче за $c_{2020}$ най-близкия каубой ще е на другия край на $d_{n-1}$. \newline + +\textbf{II. случай:} Всички линии са отделени, тоест имаме само двойки застреляли се каубои. Понеже $2021$ е нечетна цифра, то ние ще имаме един каубой който не може да участва в двойка застреляни. Тоест, точно този \colorbox{yellow}{каубой няма да бъде застрелян}. \newline + +\textbf{III. случай:} Някои линиии са свързани в кривящи се линии, други са отделени. Всяка кривяща се линия може да се сведе до I. случай, следователно има \colorbox{yellow}{поне един незастрелян} \colorbox{yellow}{каубой}. + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Според мен не е очевидно, че картината винаги може да се раздели на няколко подфигури от 1-ви случай и няколко от 2-ри случай. Това трябва да се докаже по-подробно. +Например може да тръгнеш от произволен връх и да покажеш, че или той се стреля взаймно +с друг каубой и никой друг не стреля по тях (2-ри случай), или се намира някъде във фигура от 1-ви случай. След това от нечетния брой каубои става ясно, че ще има поне една фигура от 1-ви случай и това решава задачата.}} + +\colorbox{YellowGreen}{10т.} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.} Решение:} + +Нека да наредим $h1, h2, h3, ..., h_n$ в редица с нарастващ ред на височина, тоест $h1 \; h2 \; h3 \; ... \; h_n$. Тогава, за всеки двама съседни човека, дискомфортът ще бъде възможно най-малкък и следователно общият дискомфорт също ще е най-малък. + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Не е ясно какво се има впредвид под дискомфорт на човек. Също май не е вярно, че дискомфортът на всеки отделен човек ще е възможно най-малък. Ако имаш впредвид сборът от дискомфортът на двамата му съседи, то си представи, че имам човек x, за когото първите двама по-високи от него са почти на същата височина, а предходният по височина е значително по-нисък. Тогава за него би било по-изгодно да е заобиколен от двамата високи, но глобално това не води до оптимално решение.}} + +Общият дискомфорт в тази ситуация ще бъде $|h_1 - h_2| + |h_2 - h_3| + ... + |h_{n-1} - h_n|$. Понеже височините на хората са в нарастващ ред, то това е еквивалентно на $(h_2 - h_1) + (h_3 - h_2) + ... + (h_n - h_{n-1}) = \cancel{h_2} - h_1 + \cancel{h_3} - \cancel{h_2} + ... + h_n - \cancel{h_{n-1}} = h_n - h_1$.\newline + +Обаче, ние искаме да ги наредим в кръг, което означава че към общия дискомфорт на нареждането в редица трябва да добавим и дискомфортът между първия и последния. Тоест, $h_n - h_1 + |h_1 - h_n|$. От $h_n > h_1$, следва че това е еквивалентно на $h_n - h_1 + h_n - h_1 = \colorbox{yellow}{$2 \left( h_n - h_1 \right)$}$.\newline + +\begin{minipage}{0.5\textwidth} +Пример за минимален общо дискомфорт е нареждане по височина на петима човека с височини $170, 174, 180, 190, 200$. Минималния общ дискомфорт при формулата е \newline $2 \cdot (200 - 170) = 2 \cdot 30 = 60$, равен с този от фигурата: $4 + 6 + 10 + 10 + 30 = 60$. + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Това е валиден пример, но трябва да се докаже, че наистина не може да се постигне по-нисък дискомфорт от дадения.}} +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.05\textwidth} + \hfill +\end{minipage} +\begin{minipage}{0.4\textwidth} +\begin{tikzpicture} + \draw[thick] (0,0) circle (2cm); + \draw[fill=lime] (90 : 2) circle (0.5cm) node {$170$}; + \node at (126 : 2.3) {4}; + \draw[fill=lime] (162 : 2) circle (0.5cm) node {$174$}; + \node at (198 : 2.3) {6}; + \draw[fill=lime] (234 : 2) circle (0.5cm) node {$180$}; + \node at (270 : 2.3) {10}; + \draw[fill=lime] (306 : 2) circle (0.5cm) node {$190$}; + \node at (342 : 2.3) {10}; + \draw[fill=lime] (18 : 2) circle (0.5cm) node {$200$}; + \node at (54 : 2.3) {30}; +\end{tikzpicture} +\end{minipage} + +\colorbox{YellowGreen}{5т.} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.} Решение:} \hfill\newline + +\noindent +\textbf{а)} Нека $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{N} ^ {>0}$ и $(a,b),(c,d),(e,f) \in \mathbb{N} ^ {>0} \times \mathbb{N} ^ {>0}$ \newline + +\noindent +\textbf{I.} Разглеждаме за рефлективност +\begin{align*} + (a,b)R(a,b) \iff ab = ba \quad \text{вярно от комутативност на умножението на } \mathbb{N} ^ {>0} +\end{align*} +\textbf{II.} Разглеждаме за симетричност +\begin{align*} + & (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \qquad\qquad (c,d)R(a,b) \iff cb = da \\ + & bc = cb \text{ вярно от комутативност на умножението на } \mathbb{N} ^ {>0} \implies ad = da +\end{align*} +\textbf{III.} Разглеждаме за транзитивност +\begin{align*} + & (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \implies \frac{d}{c} = \frac{b}{a} \qquad\qquad (c,d)R(e,f) \iff cf = de \implies \frac{f}{e} = \frac{d}{c} \\ + & \implies \frac{f}{e} = \frac{b}{a} \quad af = be \iff (a,b)R(e,f) +\end{align*} +\colorbox{yellow}{От I., II. и III. следва че $R$ е релация на еквивалентност}\newline + +\noindent +\textbf{б)} +\begin{align*} + (a,b)R(c,d) \iff ad = bc \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} +\end{align*} +Следователно, всеки клас на еквивалентност е от вида $\left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\}$ за $r \in \mathbb{Q} ^ {>0}$. + +\noindent +\colorbox{Goldenrod}{\parbox{\textwidth}{Това е така, но е добре да кажеш по-подробно защо множеството е изброимо (например $\mathbb{Q} ^ {>0}$ е безкрайно подмножество на клас $\mathbb{Q}$, а на $\mathbb{Q}$ еквивалентност сме показвали, е че изброимо).}} + +\noindent +Множеството от всички класове на еквивалентност е \colorbox{yellow}{изброимо безкрайно}. Всеки клас на еквивалентност е изброим $\left( \left\{ (a,b) \mid \frac{a}{b} = r \right\} \subset \mathbb{N} ^ 2 \right)$ и можем да го изброим чрез всички на кратни на прости числа (които вече не са използвани). Тоест, за първия клас на еквивалентност можем да използваме всяко второ число, за втория клас - всяко трето число (като пропускаме тези, които са кратни и на 2) и така нататък. + +\colorbox{YellowGreen}{25т.} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.} Решение:} \hfill\newline + +\noindent +\textbf{а)} Щом S е крайно, значи съществува +\begin{align*} + & \text{произволно $w$ за което } f(w) = x \text{,} \\ + & \text{произволно $z$ за което } f(z) = w \quad \left( \;\; f\left( f(z) \right) = x \;\;\right) \text{,} \\ + & \text{произволно $s$ за което } f(s) = z \quad \left( \;\; f\left( f\left( f(s) \right) \right) = x \;\;\right) \\ + & \text{и така натаък. След краен брой подобни образувания, } \\ + & \text{ще стигнем до произволно } f(y) = t \quad \left( \;\; f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x \;\;\right) +\end{align*} +Имайки предвид индуктивната дефиниция, следва че имаме $f^n(y) = x$ за някакво $n > 1$. Обаче, по дефиниция, обратната фунцкяи $f^{-1}(y) = x$. \newline Тоест, \colorbox{yellow}{$f^n(y) = f^{-1}(y)$ за някакво $n > 1$}. \newline + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{Това важи само за фиксирания елемент x. Ние искаме степен n, която да е валидна за всички x от S едновременно.}} + +\noindent +\textbf{б)} Ако $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ \colorbox{yellow}{дивергира към безкрайност} $\left( \text{примерно } g(x) = \left\{\begin{array}{cc} + x + 1 & x \geq 1 \\ + x & x < 1 +\end{array}\right. \right)$ то нужният брой образувания докато стигнем до $f\left( f\left( ... \left( f(y) \right) ... \right) \right) = x$ ще бъде безкрайно голям. Тоест, нашият $n$ в $f^n(y) = x$ ще бъде безкрайно голям и няма да съществува. + +\noindent +\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{$f$ не е биекция! За кое x е вярно $f(x) = 1$? Щом f не е сюрекция, то не може да е и биекция. Ако искаш биекция в $\mathbb{N}$, която да не се затваря, то един вариант е $g(2k) = 2k-2 за k > 0; g(0) = 1; g(2k+1) = g(2k+3)$}} + +\colorbox{YellowGreen}{5т.} + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.3.1-24-gd84d