# Графи

## Определение
```
Граф е наредена двойка G = (V, E), където V e непразно множество, чиито елементи се наричат върхове. Множеството E е крайно множество от ребра. Ребро наричаме двуелементно множество {v1, v2}, където v1 и v2 са елементи на V.
```
Графите, както подсказва името, могат да бъдат изобразени "графично". Важно е да не се бърка рисунката на граф със самия граф. Един граф може да има безброй много рисунки.

Примерно, нека V = {v1, v2, v3}, E = {{v1, v2}, {v2, v3}, {v3, v1}}. Този граф може да се нарисува като:

![](media/graph.png)

## Видове графи

### Ориентирани и неориентирани графи
Графът, който видяхте на първия пример е неориентиран. Когато говорим за граф, и не поясним дали е ориентиран или не, става въпрос за неориентиран граф. Понякога е удобно да различаваме дали реброто e от v към u или от u към v. За ребрата на ориентирания граф вече може да си мислим не като за двуелементни множества от върхове а за **наредени двойки от върхове**. 

```
Припомняне:
Когато имаме двуелементно множество {v1, v2} е вярно, че {v1, v2} = {v2, v1}. При наредените двойки това не е вярно. За v1 != v2 имаме (v1, v2) != (v2, v1).
Наредената двойка (a, b) e множеството {{a}, {a, b}}. Да твърдим, че (a, b) = (b, a) e същото като да твърдим, че {{a}, {a, b}} = {{b}, {a, b}}. Това става единствено когато a = b.
```

Сега, разглеждаме ребрата на графа като наредени двойки. 
Нека V = {v1, v2, v3} и E = {(v1, v2), (v2, v3), (v2, v1)}.
Този граф би изглеждал така:


![](media/dir-graph.png)


### Тегловен граф
Често е полезно да "закачим" някакви тегла на ребрата. Примерно, ако върховете на графа представляват някакви забележителности, а ребрата са пътища между тях, теглата могат да представляват времето в минути, което отнема да стигнем от v1 до v2. 

Примерно, това е **рисунка** на тегловен граф:


![](media/weighted-graph.png)

Можем да имаме и тегловни ориентирани графи.


![](media/weighted-dirscted-graph%20(1).png)

### Мултиграфи
Неформално, в мултиграфа позволяваме да има много ребра с краища едни и същи два върха. Отново може да имаме тегловни и нетегловни мултиграфи. Може да имаме ориентирани и неориентирани мулти графи, нищо не ни спира.

## Дефиниции
| Понятие                        | Дефиниция 
| :---                           |    :----:   
| Примка в граф                  | Ребро от типа {v, v}
| Път в граф                     | Редица от върхове (v_1, v_2, ..., v_n) за които е в сила {v_i, v_{i+1}} е елемент на E.
| Цикъл в граф                   | Път **p** за който v_1 = v_n се нарича цикъл. 
| Прост път                      | Път **p** e прост ако всички елементи в редицата са уникални.
| Дължина на път                 | Дължината на пътя е **броя на ребрата в него**.
| Ацикличен граф                 | Граф, в който няма цикъл. Ако в графът има цикъл то той се нарича цикличен.
| Свързан граф                   | Граф е свързан ако за всеки два върха u, v има път между u и v.
| Силно свързани върхове         | В **ориентиран граф** казваме, че върхове u, v са силно свързани ако съществува път от u до v и от v до u
| Силно свързан граф             | Силно свързан граф е **ориентиран** граф, за който всеки два върха са силно свързани.

# Основни операции върху графи:
Графите (като абстрактен тип данни) трябва да поддържат (част) от следните операции:  

- **addVertex** - добавяне на нов връх
- **removeVertex** - премахване на връх 
- **addEdge** - добавяне на ново ребро 
- **removeEdge** - премахване на ребро
- **getSuccessors** - взимане на наследниците на връх (при ориентирани графи)
- **getPredecessors** - взимане на предшествениците на връх (при ориентирани графи)
- **adjacent** - взимане на съседните върхове на даден връх (при неориентирани графи)

# Представяне на графи
Графите намират огромно приложение в програмирането. Ако обаче започнем да представяме граф като множество от върхове и второ множество от двуелементни множества, това представяне би било бавно. 

Ние искаме да решаваме задачи върху графи с компютър. Представете си, че върховете на графа са именувани с етикети от 0 до |V| - 1. 

Наистина, няма значение как именуваме върховете, дали ще е {0, 1..., |V| - 1} дали ще е {v1, v2...} просто имаме нужда от начин, по който да се обръщаме към тях. 

## Матрици на съседство
Нека си представим булева матрица |V|x|V|. Разбрахме, се че имената на върховете са между 0 и |V| - 1. Ако има ребро между v и u то в нашата матрица това ще отбелязваме с true. Ако няма ребро го отбелязваме с false.

Нека разгледаме матрицата:
```
{
    {0, 1, 1},
    {1, 0, 1},
    {1, 1, 0}
}
```
Това е точно матрицата, която представя графът от пример 1, ако си мислим за v1 = 0, v2 = 1, v3 = 2.

Ако матрицата представя неориентиран граф, то тя е симетрична спрямо главния диагонал.

Ако матрицата представя ориентиран граф и примерно имаме ребро от 5 към 7, но не и от 7 към 5, ще е вярно, че 

```
matrix[5][7] = true
matrix[7][5] = false
```

Можем да представяме тегловни графи чрез матрица на съседство. Тази матрица вече няма да е булева понеже ще искаме да записваме някъде теглата на ребрата. 

Може да направим матрица от тип int, в която ако matrix[i][j] = 0 нямаме ребро между i и j а в противен случай стойността на matrix[i][j] e теглото на реброто започващо от i и завършващо в j. 

Но какво става ако искаме да имаме ребра с тежест 0? Тогава трябва да изберем друга стойност, която да ни представя липсата на ребро, примерно INT_MIN или INT_MAX.

Предимствата на това представяне са, че можем да проверим, дали има ребро от който и да е връх до който и да е връх за константно време. Също така за линейно време за някой възел можем да вземем всички негови съседни ребра. 

Проблемът е, че често това представяне заема твърде много памет (O(|V|^2)). Ако графът има твърде много върхове а твърде малко ребра, матрицата ще има много нули (така наречената разредена матрица). Така ще ни се наложи да представяме малко информация с много памет.

|Операция|Сложност||
|--|--|--|
|addVertex|O(n)||
|removeVertex|O(n)||
|addEdge|O(1)|
|removeEdge|O(1)|
|getSuccessors|O(n)||
|getPredecessors|O(n)||

![](media/matrix.png)

* Тук може да си мислите за A = 0, B = 1 и тн.

## Списък от списъци
Друг начин е да държим някакъв списък (или масив) от |V| списъка. Вярно е, че списъкът на позиция i съдържа всички наследници на връх i.

Примерно, графът от пример 1 ще се представи по следния начин:

```
0: 1 -> 2
1: 0 -> 2
2: 1 -> 2
```

Сега, ако искам да видя дали има ребро между връх i и връх j това е еквивалентно на lists[i].contains(j);

Тегловни графи можем да представим, като вече списъците не са от числа а от двойки (Връх, Тегло).

![](media/weighted-list.png)

* Отново, тук индексацията започва от 1. Без никакъв проблем можем да я направим да започва от 0.

Предимството на тази реализация е, че бързо можем да добавяме върхове и ребра. Също така паметта ни вече не е O(|V|^2) а O(|V| + |E|).

Част от материалите са взаимствани от [тук](https://github.com/MariaGrozdeva/Data_structures_and_algorithms_FMI/tree/main/Sem_10)